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解析几何“降龙十八掌”
湖北省汉川一中周实忠
一、先从几年的咼考题看看解析几何咼考题的变化趋势。
1近3年湖北高考解析几何题分析：
真题
分析
2014
湖北理科
9•已知Fi, F2是椭圆和双曲线的公共焦点， P是他们的一个公共点，且
兀
NFfF2=—,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A )
3
4石 2忑
A. B.
3 3
基本运算，但有较强综合性。
: y=x+a和l2： y=x+b将单位圆C : x2 + y2 =1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= 2 .
基本运算，但要转化。
21.(满分14分)在平面直角坐标系 xOy中，点M到点F(1,0 )的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C.
(1) 求轨迹为C的方程
(2) 设斜率为k的直线l过定点p(-2,1 )，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，
两个公共点，三个公共点时 k的相应取值范围。
(21)解:
(I )设点 M (x,y)，依题意,|MF 冃 x | +1，即 J(x _1)2 + y2 =| x | +1 ,
整理的 y2 =2(|x|+x),
4x(x a 0)
所以点M的轨迹C的方程为y2 =丿' .
0,(X £ 0)
(II )在点 M 的轨迹 C 中，记 G : y2 =4x(x30) , C2: y = 0(xc0),
依题意，设直线1的方程为y-1=k(x + 2),
、 ’y—1=k(x+2) 2
由方程组」2 得ky —4y+4(2k+1) = 0 ①
J =4x
1
当k =0时，此时y =1，把y =1代入轨迹C的方程得x = —，
4
1
所以此时直线l与轨迹C恰有一个公共点(丄,1).
与往年相比，难度有所下降
。但求轨迹为C 的方程易受抛物线定义影响出错。第
(II ) 问回归曲线交点个数这一课本常规问题，方法是熟的，但考分类讨论能力要求较咼
。
当k = 0时，方程①的判别式为.：--16（2k2 k-1）
设直线I与x轴的交点为（x0,0）,则由y 一1 =k（x • 2）,令y = 0 ,得
2k 1
x° ③
k
△ < 0 1
（i）若丿，由②③解得k£_1或k>_.
/0 v0 2
1 —
即当k・（-：：，-1）（,七）时，直线I与Ci没有公共点，与C2有一个公共点，
2
故此时直线I与轨迹C恰有一个公共点.
A=OAaO 1 1
（ii）若丿或丿，由②③解得k€{—1,—}或—一兰k<0，
M v0 jXoKO 2 2
1
即当k { -1, }时，直线I与C1有一个共点，与C2有一个公共点.
2
1
当k ■[…,0）时，直线I与C1有两个共点，与C2没有公共点.
2
1 1
故当k { -1, 2} [ - 2,0）时，故此时直线I与轨迹C恰有两个公共点
A >0 1 1
（iii）若」，由②③解得 —1ck £—