文档介绍：不等式单元知识总结
一、不等式的性质
两个实数a与b之间的大小关系
a—b>0 = a>b；
< (2)a—b = 0 = a = b；
a—bVO = aVb.
a
— >] = a>b；
b
若 a、b gR+,贝小(5)§ = 1 = a = b；
b
a
— VI a<b.
b
不等式的性质
a〉bobVa(对称性)
a>b
na>c(传递性)
b>c
a>b o a+c>b+c(加法单调性)
a>b]
> nac>bc c>0
(乘法单调性)
a>b 1
> n ac<bc c<0
a+b>c => a>c—b(移项法贝0)
a>b _
⑹ }na+c>b+d(同向不等式可加)
c>d
a>bl _
⑺a—c〉b—d(异向不等式可减) c<d
a〉b〉0、
(8) }nac>bd(同向正数不等式可乘)
c>d>0
a>b>0
(9)
0<c<d
o h
乙七(异向正数不等式可除)
a>b>0
(10)
n gN
‘ m a" >b"(正数不等式可乘方)
a>b>0
(11)
n gN
n(正数不等式可开方)
(12)a>b*、(正数不等式两边取倒数)
a
lalNa； lal=<
(aNO),
—a (a<0).
(2)如果a>0,那么
Ixl<a 0 x2<a2 0 —a<x<a；
Ixl >a o x2 >a2 o x〉a或xV —a.
la • bl = lai • Ibl.
a lai /
1-1 = - (b^O).
b Ibl
lal—IbIWIa土bIWIal + lbl.
laj + a? + + aj W la〕l+ la?l + + lanl.
二、不等式的证明
不等式证明的依据
实数的性质：a、b同号o ab>0； a、b异号o ab<0 a—b>0 o a>b； a—b<0 o a<b； a—b = 0 o a = b
不等式的性质(略)
重要不等式：①lalNO； a2S：0； (a-b)22?0(a, bGR)
®a2+b22；2ab(a, bGR,当且仅当 a=b 时取"=”号)
r» h
③q—N面(a、bcR+,当且仅当a = b时取"=”号)
不等式的证明方法
比较法：要证明a>b(a<b),只要证明a—b>0(a—b<0),这种证明不等式的方
法叫做比较法.
用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形一一判断符号.
综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要 证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.
分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需 条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.
证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.
、解不等式
解不等式问题的分类
解一元一次不等式.
解一元二次不等式.
可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.
解一元高次不等式；
解分式不等式；
解无理不等式；
解指数不等式；
解对数不等式；
解带绝对值的不等式；
解不等式组.
解不等式时应特别注意下列几点：
正确应用不等式的基本性质.
正确应用幕函数、指数函数和对数函数的增、减性.
注意代数式中未知数的取值范围.
不等式的同解性
f(x)>0
⑴ f(x)・g(x)>0 与"°
或＜
f(x)<0
g(x)VO
同解.
J(x)V0 m/<
[g(x)>0
同解.
f(x)>0
f(x)・g(x)V。与驱)〈°f(x) f(x) > 0 f(x) < 0
* >0与 或"xn同解•(g(x)U0)
g(x) [g(x)>0 [g(x)<0
f(x) [f(x)>0 [f(x)<0
-7- V°与 /或 ,同解，(g(x)乂°)
g(x) [g(x)V0 [g(x)>0
lf(x)l V g(x)与一g(x)< f(x) <g(x)同解.(g(x)> 0)
lf(x)l>g(x)①与 f(x)>g(x)或 f(x)< —g(x)(其中 g(x)NO)同解；②与 g(x)<0 同解.
f(x)>[g(x)]2 f
. f(x)NO
VfOO>g(x)与 f(x)NO 或，、小同解.
g(x) < 0
[g(x)NO 1
.— ff(x)<[g(x)]2
应 Vg(x)与 同解•
f(x)与 0
f(x)>g(x) f(x)>0 同解•
当 a〉l 时，af(x