文档介绍：大一上学期高数知识点
大一上学期高数知识点
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第 二 章 导 数 与 微 分
一、主要内容小结
定义·定理·公式
（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义
（2）定理与运算法则
定理 1 f ( x0 ) 存在 f (x0 )
f ( x0 ) .
定理 2
若 y f (x) 在点 x0 处可导，则 y
f (x) 在点 x 0 处连续；反之不真 .
定理 3
函数 f ( x) 在 x0
处可微
f (x) 在 x0 处可导.
导数与微分的运算法则： 设 u
u( x) , v
v( x) 均可导，则
(u v)
u
v ,
d(u
v)
du
dv
(uv)
uv
vu ,
d(uv)
udv
vdu
( u )
vu
uv (v
0) ，
d( u )
vdu udv (v 0)
v
v 2
v
v2
（3）基本求导公式
各类函数导数的求法（1）复合函数微分法（2）反函数的微分法
（3）由参数方程确定函数的微分法（4）隐函数微分法
（5）幂指函数微分法
（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法 .
方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对 x 求
导）.
（7）分段函数微分法
高阶导数
（1）定义与基本公式
高阶导数公式： ( a x ) (n) a x ln n a (a 0) (ex )( n) ex
莱布尼兹公式：
（2）高阶导数的求法①直接法②间接法
导数的简单应用
求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率二、例题解析
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例
x K
sin
1
,
x
0
设 f (x)
x
0
,
x
0
（K为整数）. 问：
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（1）当 K 为何值时， f (x) 在 x
0
处不可导；
（2）当 K 为何值时， f (x) 在 x
0
处可导，但导函数不连续；
（3）当 K 为何值时， f (x) 在 x
0
处导函数连续？
解函数 f ( x) 在 x=0 点的导数：
f (x)
f (0)
( x)K
sin 1
lim
lim
f (x)
f (0) =lim
x
x 0
x 0
x 0
x
x 0
x
=lim
(x) K 1
sin 1 = 发散 ，当 K
1
x 0
x0
， 当 K
1
即 f ( 0)