文档介绍：数列与不等式答案与提示
(-)等差、等比数列的概念与性质，通项公式与前"项和公式
例 1、证：(1) Sm+1 = Sm + am+l, Sm+2 = Sm + am+l + am+2.
由已知 2S”,+2 = Sm + Sm+l, 2(Sm + am+l + am+2) = Sm+(Sm+ am+1),
a”,+2 =_*a”,+i，即数列｛«„｝的公比？ = —，仏+2= + 色， 2%+2 = % + am+l, am , am+2, am+l 成等差数列•
(2) (1)的逆命题是：若a” , am+2, 0”+］成等差数列，则S”，Sm+2, S””】成等差数列. 设数列数列｛%｝的公比为q, •: am+l=amq, am+2=amq\
由题设，2a,”+2 = a,” + a,”+］,即 2a,”『=a,”+a,”g,即 2『一g —1 = 0, .・.g = 1 或 g=—!
当 g = l 时，Sn=nal^Q, Sm + Sm+l = (2m + l)«j, Sm+2 =(m + 2)cz1,
ai 0 ' *"• Sm + Sm+i M 2S”+2，即 S”，Sm+2 , Sm+i 不成等差数列,逆命题为假. 例2、解：(1)若q=l,则S3 =12, $2=8 S4 =16,不成等差数列，故q^l.
即 q3+q4=2q2,
由心4弋，得弩汁弩汁2•賞
:.q2+q-2 = Q, :.q = -2. :. a” = 4(—2)门=(-2),,+1.
(2) b”=log2|a”| = log』(-2)"+卜"+ 1,则占 W+i
，得」恥+幼
/（»）=
n
2(“ + 2)2
n
2(/z2 + 4” + 4)
1 _ 1
(JI + 1)(〃 + 2) M + 1
n
2(〃 + 2)
••• 2 > —对一切n e N*恒成立.
2(”+ 2尸
1 1 1 4
——<——二一=—,等号当且仅当n=~, 2(/? +- + 4) 2(2"+ 4) 16 n
n
即n = 2时成立，/. 2 > f (；/)max =—,故2的最小值为丄.
丿 \ / max ［厂 ［厂
lo 1O
为等差数列，设bn =^-,则bx =^ = 2,
"2" 1 2
=占［(%+1 _2%) + 1］=占［(2川 _1) + 1］ =1，
例3、（1）证：•.•数列
［2"
b -b
n+\ n 2"+l 2〃
2"
可知，数列
[2" J
⑵解：由⑴知,』导（“
为首项是2、公差是1的等差数列.
(" — 1)x1, a” =(" + 1)・2"+1.
S„ =2-2'+3-22 +••• + «.-2,,-|+(n. + l)-2n +n .
令 7； =2・2】+3・22+••• + “ .2门+(" + 1)・2", ①
则 27；, -2-22+3-23+••• + w2fl+(n，+ l)-2,,+1. ②
②一①，得7； =-2-21-(22 +23 +••• + 2,1) + (n + l)-2n+1 =n-2n+1.
Sn =zz-2H+1+zz = zz-（2,,+1+l）.
【变式1】（1）由已知= + ：.bn+x-bn=—,利用“累加法”可得：bn=2 — —J-.
n + 1 n 2” ，，+1 ” 2” ” 2心
n n -I- 9
（2）由（1）矢na”=2“—詁，利用通项分组法和错位相减法，求得S” = "（" + l） + 尹 —4.
【变式2】⑴用“累乘法”，易得：an
2" •1・35・・(2”-1) _ 2" •1・35・・(2"-1)
• 2 • 3 …” n\
(2”)！_1・35・・(2" —1)・2・46・・(2”) n\- n\ n\- n\
1)・2" ・123…"
n\- n\
2"小35・・(2“-1) . _
n\ ， "a,'~ 2,1'
例4、解:
(2»)! = 2“ •⑵7 -1)! = 2.(2—A = 2c„-i n\-n\ n\-n\ (n -1) !• n! —
an为偶数.
(1) ..a | 2=(力 + 6)色+4〃 + 10 | 2 = (4〃 + 6)g+2)
2n +1
，.也4 = ”=4,则b”+严2b”,且b严U
2n + 3 2n + l " 2n + l ,,+1 " 1 3
i c
.•.当a = -2时，勺=0,则bn=0,数列｛ —｝不是等比数列.
2〃 +1
I C
当aH—2时