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复****模块：平面向量
一 、知识点
（1）平面向量的概念及线性运算
平面向量两要素：大小，方向。
零向量：记作0，手写时记做，方向不确定。单位向量：模为1的向量。
平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作//b 。规定：零向量与任何一个向量平行。
相等向量：模相等,方向相同，记作a = b 。负向量：与非零向量的模相等，方向相反的向量，记作。规定：零向量的负向量仍为零向量。
向量加法的三角形法则：如图1，作=a, =b，则向量记作a＋b ，即
a＋b =＋= ，和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点．
图2
A
D
C
B
图1
A
C
B
a
b
a+b
a
b
向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD中，＋=＋=, 所表示的向量就是与的和．平行四边形法则不适用于共线向量。
向量的加法具有以下的性质：
（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（−a）= 0；（2）a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
向量的减法：起点相同的两个不共线向量a、 b，a与b的差运算的结果仍然是向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．如图3。
a−b=a+(−b)，设a，b， 则=
a
A
a-b
B
b
O
图3
向量的数乘运算：数与向量的乘法运算。一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为 ， 若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．
共线向量充要条件：对于非零向量a、b，当时，有 一般地，有 0a= 0, 0 = 0 .
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线性组合：一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合．如果l ＝a＋ b，则称l可以用a，b线性表示．
（2）平面向量的坐标表示
设点 ，则起点为终点为的向量坐标为
设平面直角坐标系中，，，则
由此得到，对非零向量a、 b，设 若
当时，
（3）平面向量的内积
向量a与向量b的夹角，记作<a,b>。
内积的定义：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，它是一个数量，又叫做数量积．记作a·b, 即 a·b＝｜a||b|cos<a,b>
结论：（1）cos<a,b>＝.
（2）当b＝a时，有<a,a>＝0，所以 a· a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝
（3）当时，ab，因此， a·b＝
对非零向量a，b， a·b＝0ab.
平面向量的内积的坐标表示：设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2) a·b＝ x1 x2＋ y1 y2
夹角公式坐标表示：当a、b是非零向量时， cos<a,b＝＝
相互垂直的向量坐标表示：ab a·b＝0