文档介绍：板块五 .圆的规划问题
典例分析
【例 1】 如果实数 x 、 y 满足
2
2
，则 y 的最大值为（
）
(x 2)
y 3
x
A ． 1
3
C．
3
D．
3
B．
2
2
3
【考点】圆的规划问题
【难度】 3 星
【题型】选择
【关键字】无
【解读】等式 (x
2) 2
y2
3
有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为
(2 ，0) ，半径 r
3
，（如图），而
y
x
0 则表示圆上的点 ( x ，y) 与坐标原
x
x
0
点 (0 ，0) 的连线的斜率．如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点
A在
以 (2 ，0) 为圆心，以
3 为半径的圆上移动，求直线
OA 的斜率的最大值，由图
可见，当
A 在第一象限，且与圆相切时，
OA 的斜率最大，经简单计算，得
最大值为 tan 60
3
y
A
O M x
【答案】 D；
【例2】 若集合 M
x
3cos
，集合 N
( x， y) | y
x 且b
( x ，y)
(0π)
y
3sin
N ≠ ，则 b 的取值范围为 ______________．
【考点】圆的规划问题
【难度】 3 星
【题型】填空
【关键字】无
【解读】 M
( x ，y) | x2
y 2
9 ，0 y ≤1 ，显然， M 表示以 (0 ，0) 为圆心，以
3 为
半
径的圆在 x 轴上方的部分，（如图），而
N 则表示一条直线，其斜率
k 1 ，
0/19
纵截距为 b ，由图形易知，欲使 M N ≠ ，即是使直线 y x b 与半圆有公
共点，显然 b 的最小逼近值为 3 ，最大值为 3 2 ，即 3 b ≤ 3 2
y
3 2
O x
【答案】 3 b ≤ 3 2
【例 3】 试求圆
x
2cos , （
为参数）上的点到点
A(3 , 4) 距离的最大（小）值．
y
2sin
【考点】圆的规划问题
【难度】 3 星
【题型】解答
【关键字】无
【解读】 分析 利用两点间距离公式求解或数形结合求解．
A
P1
O
x
P2
解法一设 P是圆
x
2cos , 上任一点，则 P(2cos , 2sin ) ．所以
y
2sin
PA
(3
2cos
)2
(4
2sin
)2
25
4
12cos
16sin
29
20sin(
)(
arctan
3
) ．
4
因为
R ，所以
R ，因此
当 sin(
)
1 时， PA 最大值
29
20
7
．
当 sin(
)
1 时， PA 最小值
29
20
3．
解法二 将圆
x
2cos
, 代入普通方程得
x2
y2
4
．
y
2sin
如图所示可得，
P1 A 、 P2 A 分别是圆上的点到
A(3 , 4) 的距离的最小值和最大
值．
易知： P1 A
3， P2A
7 ．