文档介绍：案例2 秦九韶算法
一、三维目标
（a）知识与技能
了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
（b）过程与方法
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.
（c）情感态度与价值观
通过对秦九韶算法的学****了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。
二、教学重难点
重点：;
难点: .
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〖教学设计〗
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.
x=5
f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7
PRINT f
END
程序
点评:上述算法一共做了15次乘法运算,,易懂;缺点是在计算x的幂值时重复计算，运算效率不高.
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的值，这样计算上述多项式的值,一共需要9次乘法运算,5次加法运算.
[问题2]有没有更高效的算法?
分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,
即先计算x2,然后依次计算
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.
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[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?请欣赏下面的解法：
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
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秦九韶（1208年－1261年）南 宋官员、数学家，与李冶、杨辉、 朱世杰并称宋元数学四大家。主要成就:1247年完成了数学名著《数学九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法 。
美国著名科学史家萨顿说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。
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例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
解：首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
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所以，当
多项式的值。
解：
当x=2时的值时多项式的值。
挑战1：计算
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挑战2：用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值.
【解析】f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1
＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
当x＝2时,有
v0＝8,v1＝8×2＋5＝21,v2＝21×2＋0＝42,v3＝42×2＋3＝87,v4＝87×2＋0＝174,v5＝174×2＋0＝348,v6＝348×2＋2＝698,v7＝698×2＋1＝1397,
∴当x＝2时,多项式的值为1397.
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.
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