线性代数第六章 ppt课件.ppt

文档介绍：第六章、二次型
二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。
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第一节 二次型
定义1 n个变量x1，x2，…，xn的二次齐次多项式
称为一个n元二次型，简称二次型。
()
当所有系数aij为复数时,称f 为复二次型；
当所有系数aij为实数时,称f 为实二次型。
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精品资料
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你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？
教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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取
，则有
从而()式可写成
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令
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则用矩阵将二次型()可写成
其中矩阵A为实对称矩阵。
由于矩阵A的主对角线元素aii是二次型f 中平方项xi2的系数，其余元素aij=aji(i ≠j)正是中交叉项xixj系数的一半。因此，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。
我们称对称阵A为二次型f 的矩阵,称矩阵A的秩为二次型 f 的秩。
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例1 将二次型
表示为矩阵形式,并写出 f 的矩阵和 f 的秩。
解:
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因此，f 的矩阵为
由于矩阵A的秩为2，从而二次型 f 的秩为2。
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定义2 设变量x1,x2,...,xn能用变量y1,y2,...,yn线性地表示,即存在常数cij (i,j=1,2,…,n),使
()
成立。则称此关系式为由变量 x1,x2,...,xn到变量 y1,y2,...,yn的一个线性变换，或简称线性变换。
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