文档介绍：第八章 微分方程与差分方程简介
微分方程的基本概念
可分离变量的一阶微分方程
一阶线性微分方程
可降阶的高阶微分方程
二阶常系数线性微分方程
微分方程应用实例
退 出
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第八章 微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有关内容做一简单介绍。
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微分方程的基本概念
例1 一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义，y(x)应满足：
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例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为－4
,问汽车是否会撞到小孩？
解 设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
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在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要
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的时间t=，因此刹车后汽车行使距离为：
凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程（differential equation）.未知函数为一元函数的微分方程，叫常微分方程（ordinary differential equation ）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程（partial differential equation）.这里我们只讨论常微分方程，简称为微分方程，例如
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等都是常微分方程。
微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和（12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程，而（13）是n阶微分方程。
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如果将一个 函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。（4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解（general solution）.如（3）和（8）分别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。
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的解，称为微分方程的特解（particular solution）.如
（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解
时刻的状态得到的定解条件，
称为初值条件（initial value condition）.初值条件的
个数通常等于微分方程的阶数，
一阶微分方程的初值条件一般为
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从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integral curve).如
是方程（1）的积分曲线族,而
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