数值分析向量的内积.ppt

文档介绍：数值分析向量的内积
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阜师院数科院
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向量的内积
设有n维向量x(x1 x2    xn)T y(y1 y2    yn)T 令
[x y]x1y1x2y2    xnyn
[x y]称为向量x与y的内积
说明
内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有
[x y]xTy
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向量的内积
设有n维向量x(x1 x2    xn)T y(y1 y2    yn)T 令
[x y]x1y1x2y2    xnyn
[x y]称为向量x与y的内积
内积的性质
设x y z为n维向量 为实数 则
(1)[x y][y x]
(2)[x y][x y]
(3)[xy z][x z][y z]
(4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0
(5)[x y]2[x x][y y] ——施瓦茨不等式
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向量的长度
令
||x||称为n维向量x的长度(或范数)
向量的长度的性质
设x y为n维向量 为实数 则
(1)非负性 当x0时 ||x||0 当x0时 ||x||0
(2)齐次性 ||x||||x||
(3)三角不等式 ||xy||||x||||y||
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向量间的夹角
称为n维向量x与y的夹角
当x0 y0时
当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向量都正交
定理1
若n维向量a1 a2    ar是一组两两正交的非零向量
则a1 a2    ar线性无关
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例1 已知3维向量空间R3中两个向量
a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T
正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交
解
设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足
a1Ta30 a2Ta30
即a3应满足齐次线性方程组
取a3(1 0 1)T即合所求
得基础解系(1 0 1)T
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注
当||x||1时 称x为单位向量
规范正交基
设n维向量e1 e2    er是向量空间V(VRn)的一个基 如果e1 e2    er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2    er是V的一个规范正交基
例如 向量组
是R4的一个规范正交基
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规范正交基
设n维向量e1 e2    er是向量空间V(VRn)的一个基 如果e1 e2    er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2    er是V的一个规范正交基
向量在规范正交基中的坐标
若e1 e2    er是V的一个规范正交基 那么V中任一向量a应能由e1 e2    er线性表示 并且
a[a e1]e1[a e2]e2    [a er]er
事实上 设a1e12e2    rer  则
eiTaieiTeii
即ieiTa [a ei]
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说明
要找一组两两正交的单位向量e1 e2    er 使e1 e2    er与a1 a2    ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2    ar这个基规范正交化
施密特正交化方法
设a1 a2    ar是向量空间V中的一个基 取向量组
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