文档介绍：精品文档，仅供学****与交流，如有侵权请联系网站删除
【精品文档】第 1 页
平面向量基本定理常用题型归纳
何树衡 刘建一
平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数使得=
平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，，认为大致分为以下题型：
一、基本题型随处可见
例1：在直角坐标平面上，已知O是原点，，若，求实数x,y的值
解：
∴ 即x为－3，y为3.
，利用正余弦定理求解
例2：如图，平面内有三个向量，其中夹角为120º，的夹角为30º，，若,则= ，= .
解：过C作CD∥OB交OA的延长线于D，在Rt△ODC中，
D
30º
O
C
B
A
∴即=4，=2
二、共线问题常考常新
。
B
P
A
D
常用结论：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，存在实数t，使得关于基底{OA,OB}的分析式为
精品文档，仅供学****与交流，如有侵权请联系网站删除
【精品文档】第 2 页
反之，若则A，P，B三点共线
（特别地令t=,称为向量中点公式）
C
B
P
A
N
例3：在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为
解：∵，∴
∵B,P,N三点共线，∴
又∵，∴m=
例4：在平行四边形OACB中，BD=BC，OD与BA相交于E，求证：BE=BA
证明：如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′=BA，只需证E，E′重合即可
设，，，
C
B
D
A
E
O
∴O,E′,D三点共线
∴E,E′重合，∴BE=BA
三、区域问题渐成热点
由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依据和操作上的便利，也可以解决向量中类似于点所在位置问题.
定理：设O,A,B为平面内不共线的三个定点，动点C满足，记直线OA，OB，AB分别为lOA,lOB,lAB，平面被分成如图7个部分(Ⅰ—Ⅶ)，得出结论表(1)，表(2)
A
O
B
Ⅳ
Ⅳ
Ⅰ
Ⅵ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅶ
表(1)
充要条件
动点C所在区域(不含边界)
x,y满足条件
Ⅰ
x>0，y>0且x+y<1
Ⅱ
x>0，y>0且x+y>1
Ⅲ
x>0，y<0且x+y>1
Ⅳ
x>0，y>0且x+y>1或x<0,y>1
Ⅴ
X<0,0<y≤1
精品文档，仅供学****与交流，如有侵权请联系网站删除
【精品文档】第 3 页
Ⅵ
0<x≤1,y<0
Ⅶ
X<0,y<0
表(2)
充要条件
动点C在线上
x,y所满足条件
相同特征
不同特征
C在线段AB上
x+y=1
x>0,y>0
C在线段AB的延长线上
x<0,y>0
C在线段BA的延长线上
x>0,y<0
C在线段OA上
y=0
0≤x≤1
C在线段OA的延