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文档介绍：“点差法”在解析几何题中的应用
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“点差法”在解析几何题中的应用
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，，以供参考.
求弦中点的轨迹方程
例1 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
解 设弦的两个端点分别为，的中点为.
则，（1），（2）
得：，
.
又，.
弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.
例2 直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .
解 设，中点，则.
，过定点，.
又，（1），（2）
得：，
.
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于是，即.
弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛物线内）.
求曲线方程
例3 已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.
解 ，则三点共线，且，分所成比为，于是，
解得，.
设，则.
又，（1），（2）
得：，.
所在直线方程为，即.
例4 已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.
解 设，则，且，（1），（2）
得：，，
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两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
解 假设这样的直线存在，设的坐标分别为，则，，又，（1），（2）
得：，

的斜率
又直线过三点，的方程为 ，即.
但若将代入整理得方程，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.
发表于《数理化解题研究》
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