文档介绍：初三数学培优资料
第一讲：一元二次方程的根
一、内容提要
一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的实数根，是由它的系数a, b, c的值确定的. 求根公式是：x=—b土肿—込 (b2-4ac^0)
2a
根的判别式
实系数方程ax2+bx+c=0(a^0)有实数根的充分必要条件是：b2-4ac^0.
有理系数方程ax2+bx+c=0(a^0)有有理数根的判定是：b2-4ac是完全平方式O方程有有理数根.
整系数方程x2+px+q=0有两个整数根O p2-4q是整数的平方数.
设Xi, X2是ax?+bx+c=O的两个实数根，那么
axi2+bxi+c=0 (aHO, b?—4ac》0), ax22+bx2+c=0 (aHO, b2_4ac^0)；
—b+Jz/ -4qc
2a
(aHO, b2-4ac^0)；
③ 韦达定理：xi+x2= — —, xix2=— (aHO, b2—4ac^0).
a a
方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0 (a^O)有一个整数根x】的必要条件是：X】是c的因数. 特殊的例子有： C=0 Oxi=0 , a+b+c=O Oxi=l , a—b+c=0o x】=—1.
二、例题
例1. 已知I： a, b, c是实数，且a=b+c+l.
求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.
例2. 已知首项系数不相等的两个方程：(a-1 )x2-(a2+2>+(a2+2a)=0 和(b-1 )x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其
中a,b为正整数), b的值.
：m, n是不相等的实数，方程x'+mx+n-O的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等. 求：m+n的值.
, b, c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(a^0)没有有理数根.
：对于任意一个矩形A,总存在一个矩形B,使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k (k>l).
例6. k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？
(1?—1) x2-6(3k-l)x+72=0 ； ②kx2+(k2-2)x-(k+2)=0.
三、练****br/>写出下列方程的整数解：
5x2-a/3x=0的一个整数根是 .
3x2+(血—彳赵-V2=0的一个整数根是 .
x2+( V5+l)x+V5=0的一个整数根是 .
方程(1-m) x2-x-l=0有两个不相等的实数根，那么整数m的最大值是 .
己知方程X2—(2m— l)x—4m+2=0的两个实数根的平方和等于5,则m= .
若x Ky ,且满足等式x2+2x—5=0和y2+2y—5=—+ — = .(提示：x, y是方程z2+5z —
5=0的两个根.)
如果方程/+px+q=0的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q应满足的关系是：
若方程ax2+bx+c=0中a>0, b>0, c< .
如果方程mx2—2(m+2)x+m+5=0没有实数根，那么方程(m—5) x2—2mx+m=0实数根的个数是( ).
(A)2 (B) 1 ( C) 0 (D)不能确定
& 当 a, b 为何值时，方程 x2+2(l+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？
两个方程x2+kx—1=0和X7—x—k=0有一个相同的实数根，则这个根是( )
(A)2 (B) -2 (C) 1 (D) -1
已知I：方程x2+ax+b=0与x?+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b应满足的关系是：
已知：方程x2+bx+l=0与X7—x—b=0有一个公共根为m,求：m, b的值.
已知：方程x2+ax+b=0的两个实数根各加上1,就是方程x2-a2x+ab=, b的值或 取值范围.
已知：方程ax2+bx+c=0(a^0)的两根和等于两根的平方和等于s?,两根的立方和等于S3. 求证:as3+bs2+csi=0.
求证：方程X2—2(m+l)x+2(m—1)=0的两个实数根，不能同时为负.(可用反证法)
已矢口： a, b是方程x2+mx+p=0的两个实数根；c, d是方程x'+nx+qn)的两个实数根. 求证：(a—c) (b — c)(a—d)(b—d)=(p—q)2.
如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5,两实数根的积是2,那么这个方程是：
如果方程(x-1) (x2-2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是
( )
一 一 3 3 3
(A) OWmWl (B) mN—