文档介绍：抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
专题一抽象函数奇偶性的判定及应用
探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题
抽象函数的具体模型
类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题
① ，满足，如何证明为奇函数？
② ，满足，如何证明为偶函数？
类型二：抽象函数证明函数的单调性问题
① 若且、证明其单调性
② 若、证明其单调性
探究二：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题
一、判断单调性和奇偶性
判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例 1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为 5，那么在区间上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图，易知选 B。
例 2．偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图所示，易知在上是增函数，证明如下：
任取
因为在上是减函数，所以。

又是偶函数，所以，
从而，故在上是增函数。
判断奇偶性
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。例 3．若函数与的图象关于原点对称，判断：函数
是什么函数。
解：设图象上任意一点为 P（）与的图象关于原点对称，关于原点的对称点在的图象上，
又
即对于函数定义域上的任意 x 都有，所以是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性

例 4．已知对一切，满足，且当时，，求证：（ 1）时，（ 2）在 R 上为减函数。
证明：对一切有。
且，令，得，
现设，则，，而
，
设且，则
，即为减函数。

例 5．已知的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足，求证：是偶函数。
分析：在中，令，
得
令，得
于是故是偶函数。
三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉 “”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例 6．已知是定义在（）上的偶函数，且在（ 0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。
解：是偶函数，且在（ 0， 1）上是增函数，在上是减函数，
由得。
（ 1）当时，，不等式不成立。
2）当时，
（3）当时，
综上所述，所求的取值范围是。
四、不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号 “”，转化为代数不等式求解。
例 7．已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。
解：设且则，即，
故为增函数，
又
因此不等式的解