文档介绍：31 § 9. 矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积,这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式,一方面反映了原矩阵的某些数值特性,如矩阵的秩、特征值、奇异值等; 另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据,因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便,这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。将一个矩阵分解为酉矩阵(或正交矩阵)与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积,这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手,进而讨论任意矩阵的三角分解。定义 1如果( 1, 2, , ) ii a i n ??均为正实数, ( )( , 1, 2, 1; ? ???? ij a C R i j i n 1, 2, ), ? ??? j i i n 则上三角矩阵 11 12 1 22 2 0 0 0 ? ?? ?? ??? ?? ?? ???? ???? nn nn a a a a a Ra 称为正线上三角复(实)矩阵,特别当 1( 1, 2, , ) ii a i n ? ??时,R 称为单位上三角复( 实)矩阵。定义 2如果( 1, 2, , ) ii a i n ??均为正实数, ( )( , 1, 2, 1; ? ???? ij a C R i j i n 1, 2, ), ? ??? j i i n 则下三角矩阵 11 21 22 1 2 0 0 0 ? ?? ?? ??? ?? ?? ???? ???? n n nn a a a L a a a 32 称为正线下三角复(实)矩阵,特别当 1( 1, 2, , ) ii a i n ? ??时,L 称为单位下三角复( 实)矩阵。定理 1设, ?? n n n A C 则A 可唯一地分解为 1? A U R 其中 1U 是酉矩阵, R 是正线上三角复矩阵;或者 A 可唯一地分解为 2? A LU 其中 2U 是酉矩阵, L 是正线下三角复矩阵。推论 1设, ?? n n n A R 则A 可唯一地分解为 1? A Q R 其中 1Q 是正交矩阵, R 是正线上三角实矩阵;或者 A 可唯一地分解为 2? A LQ 其中 2Q 是正交矩阵, L 是正线下三角实矩阵。推论 2设A 是实对称正交矩阵,则存在唯一的正线上三角实矩阵 R ,使得? T A R R 推论 3设A 是正定 Hermite 矩阵,则存在唯一的正线上三角复矩阵 R ,使得? T A R R 定理 2设, ?? n n n A C 用L 表示下三角复矩阵, *L 表示单位下三角复矩阵,R 表示上三角复矩阵, *R 表示单位上三角复矩阵, D 表示对角矩阵,则下列命题等价: ( 1)A 的各阶顺序主子式 33 11 12 1 21 22 2 1 2 0 ( 1, 2, , ) ? ?? ?? ?? ? ??? ?? ?? ????? ???? kkk k k kk a a a a a a k n a a a ; (2)A 可唯一地分解为*? A LR ,并且 L 的主对角线上元素不为零; (3)A 可唯一地分解为* * ? A L DR ,并且 D 的主对角线上元素不为零; (4)A 可唯一地分解为*? A L R ,并且 R 的主对角线