文档介绍：支持向量机 SVM 1 简介支持向量机基本上是最好的有监督学****算法了。我看很多正统的讲法都是从 VC 维理论和结构风险最小原理出发,然后引出 SVM 什么的,还有些资料上来就讲分类超平面什么的。这份材料从前几节讲的 logistic 回归出发,引出了 SVM ,既揭示了模型间的联系,也让人觉得过渡更自然。 2 重新审视 logistic 回归 Logistic 回归目的是从特征学****出一个 0/1 分类模型,而这个模型是将特性的线性组合作为自变量,由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此,使用 logistic 函数(或称作 sigmoid 函数)将自变量映射到(0,1) 上,映射后的值被认为是属于 y=1 的概率。形式化表示就是假设函数其中 x是n 维特征向量,函数 g 就是 logistic 函数。的图像是可以看到,将无穷映射到了(0,1) 。而假设函数就是特征属于 y=1 的概率。当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时, 只需求, 若大于 就是 y=1 的类, 反之属于 y=0 类。再审视一下,发现只和有关, >0 ,那么, g(z) 只不过是用来映射, 真实的类别决定权还在。还有当时, =1 ,反之=0 。如果我们只从出发,希望模型达到的目标无非就是让训练数据中 y=1 的特征,而是 y=0 的特征。 Logisti c 回归就是要学****得到,使得正例的特征远大于 0 ,负例的特征远小于 0 ,强调在全部训练实例上达到这个目标。图形化表示如下: 中间那条线是, logistic 回顾强调所有点尽可能地远离中间那条线。学****出的结果也就中间那条线。考虑上面 3 个点 A、B和C 。从图中我们可以确定 A是× 类别的,然而 C 我们是不太确定的, B 还算能够确定。这样我们可以得出结论, 我们更应该关心靠近中间分割线的点, 让他们尽可能地远离中间线, 而不是在所有点上达到最优。因为那样的话, 要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。我想这就是支持向量机的思路和 logistic 回归的不同点, 一个考虑局部( 不关心已经确定远离的点), 一个考虑全局( 已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离)。这是我的个人直观理解。 3 形式化表示我们这次使用的结果标签是 y=-1,y=1 ,替换在 logistic 回归中使用的 y=0 和 y=1 。同时将替换成 w和b 。以前的,其中认为。现在我们替换为b ,后面替换为(即)。这样,我们让, 进一步。也就是说除了y由 y= 0变为 y=-1 , 只是标记不同外,与 logisti c 回归的形式化表示没区别。再明确下假设函数上一节提到过我们只需考虑的正负问题,而不用关心 g(z) ,因此我们这里将 g(z) 做一个简化, 将其简单映射到 y=-1 和 y=1 上。映射关系如下: 4 函数间隔( functional margin )和几何间隔( geometric margin ) 给定一个训练样本,x 是特征,y 是结果标签。i 表示第 i 个样本。我们定义函数间隔如下: 可想而知,当时, 在我们的 g(z) 定义中,, 的值实际上就是。反之亦然。为了使函数间隔最大( 更大的信心确定该例是正例还是反例),当时,应该是个大正数,反之是个大负数。因此函数间隔代表了我们认为特征是正例还是反例的确信度。继续考虑 w和b ,如果同时加大 w和b ,比如在前面乘个系数比如 2 ,那么所有点的函数间隔都会增大二倍,这个对求解问题来说不应该有影响,因为我们要求解的是,同时扩大 w和b 对结果是无影响的。这样,我们为了限制 w和b ,可能需要加入归一化条件,毕竟求解的目标是确定唯一一个 w和b ,而不是多组线性相关的向量。这个归一化一会再考虑。刚刚我们定义的函数间隔是针对某一个样本的,现在我们定义全局样本上的函数间隔说白了就是在训练样本上分类正例和负例确信度最小那个函数间隔。接下来定义几何间隔, 先看图假设我们有了 B 点所在的分割面。任何其他一点,比如 A 到该面的距离以表示, 假设 B 就是 A 在分割面上的投影。我们知道向量 BA 的方向是(分割面的梯度),单位向量是。 A 点是,所以 B 点是 x= (利用初中的几何知识),带入得, 进一步得到实际上就是点到平面距离。再换种更加优雅的写法: 当时, 不就是函数间隔吗?是的, 前面提到的函数间隔归一化结果就是几何间隔。他们为什么会一样呢?因为函数间隔是我们定义的, 在定义的时候就有几何间隔的色彩。同样, 同时扩大 w和 b,w 扩大几倍, 就扩大几倍,结果无影响。同样定义全局的几何间隔 5 最优间隔分类器( optimal margin classifier ) 回想前面我们提到我们的目标是寻找一个超平面, 使得离