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矩阵的合同变换
摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词：矩阵 秩 合同 对角化
定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，则积A与B等价，记为
定义2：设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得，则称A和B相似
定义3：设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得
那么就说，在数域F上B与A合同。
以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。
定理1：合同变换与相似变换都是等价变换
证明：仅证合同变换，相似变换完全相似
因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即。
此时边为一系列初等矩阵的乘积
若 则B由A经过一系列初等变换得到。所以，从而知合同变换是等价变换。
定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩
证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩
定理3：相似矩阵有相同特征多项式
证明：共
又因为为对称矩阵
所以
注①合同不一定有相同特征多项式
定理4：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A与B相似且合同
论：设A，B为特征根均为，因为A与B实对称矩阵，所以则在n阶正 矩阵，使得
从而有
由
从而有
从而
又由于
为正交矩阵
所以且
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定时5：两合同矩阵，若即，若A为对称矩阵，则B为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质
证明：即，若对称阵，则
所以B边为对称阵
[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？
引理6：对称矩阵相似于对角阵A的每一个特征根有秩，S为的重数.
证明：任给对称的n阶矩阵A一个特征根，以其重数以秩，则
，线性无关的解向量个数为个，即5个
又因属不同特征根的特征向量线性无关
n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量
n阶对称阵可对角化
从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，
如对二次型应用
例 求一非线性替换，把二次型
二次型矩阵为
对A相同列与行初等变换，对矩阵E，施行列初等变换
可把二次型化为标准型
解法（2）
此时
此时非线性退化替换为
发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的
特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性
[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？
例3．用可逆性变换化二次型
解：
对二次型矩阵为
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标准形，则
[注]当P改变两行的位置交换后，发现
定理2：在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有，则调整P的任意两行，对角阵形式不变。
证明：设初等变换的对调变换矩阵为J，显然于是有
而P与JP相比仅是行的排列顺序不同，
因此任意调整P的行，所得对角阵相同。
[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？
例4．求实对称矩阵