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线性代数超强总结
√ 关于：
①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；
②线性无关；
③；
⑤任意一个维向量都可以用线性表示.
√ 行列式的计算：
① 若都是方阵（不必同阶）,则
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.
③关于副对角线：
√ 逆矩阵的求法:
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①
②
③
√ 方阵的幂的性质：
√ 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.
√ 设的列向量为,的列向量为，的列向量为,
√ 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；
用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.
√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
与分块对角阵相乘类似,即：
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√ 矩阵方程的解法：设法化成
当时,
√ 和同解（列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；
② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；
③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 判断是的基础解系的条件：
① 线性无关；
② 是的解；
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.
两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.
向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.
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向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.
向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.
维列向量组线性相关；
维列向量组线性无关.
若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.
矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.
阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
向量组等价 和可以相互线性表示. 记作：
矩阵等价 经过有限次初等变换化为. 记作：
矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵与作为向量组等价
矩阵与等价.
向量组可由向量组线性表示≤.
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向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.
向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.
向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；
任一向量组和它的极大无关组等价.
向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.
若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；
若，的列向量线性无关,即：
线性无关.
线性方程组的矩阵式 向量式
矩阵转置的性质：
矩阵可逆的性质：
伴随矩阵的性质：
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线性方程组解的性质：
√ 设为矩阵,若,则,从而一定有解.
当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.
是的上限.
√ 矩阵的秩的性质：
⑩ 且在矩阵乘法中有左消去律:
标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
是单位向量 .
√ 内积的性质： ① 正定性：
② 对称性：
③ 双线性：
施密特 线性无关,
单位化：
正交矩阵 .
√ 是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基.
√ 正交矩阵的性质：① ；
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