文档介绍：精品文档，仅供学****与交流，如有侵权请联系网站删除
【精品文档】第 1 页
高中数学导数及其应用
一、知识网络
二、高考考点
1、导数定义的认知与应用；
2、求导公式与运算法则的运用；
3、导数的几何意义；
4、导数在研究函数单调性上的应用；
5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；
6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点
（一）导数
1、导数的概念
（1）导数的定义
（Ⅰ）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作 ，即 。
（Ⅱ）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（
精品文档，仅供学****与交流，如有侵权请联系网站删除
【精品文档】第 2 页
）内的导函数（简称导数），记作 或 ， 即 。
认知：
（Ⅰ）函数 的导数 是以x为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。
（Ⅱ）求函数 在点 处的导数的三部曲：
①求函数的增量 ；
②求平均变化率 ；
③求极限
上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。
（2）导数的几何意义：
函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。
（3）函数的可导与连续的关系
函数的可导与连续既有联系又有区别：
（Ⅰ）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续；
若函数 在开区间（ ）内可导，则 在开区间（ ）内连续（可导一定连续）。
事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时，
精品文档，仅供学****与交流，如有侵权请联系网站删除
【精品文档】第 3 页
记 ,则有 即 在点 处连续。
（Ⅱ）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导（连续不一定可导）。
反例： 在点 处连续，但在点 处无导数。
事实上， 在点 处的增量
当 时， ， ；
当 时， ，
由此可知， 不存在，故 在点 处不可导。
2、求导公式与求导运算法则
（1）基本函数的导数（求导公式）
公式1 常数的导数： （c为常数），即常数的导数等于0。
公式2 幂函数的导数： 。
公式3 正弦函数的导数： 。
公式4 余弦函数的导数：
精品文档，仅供学****与交流，如有侵权请联系网站删除
【精品文档】第 4 页
公式5 对数函数的导数：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ）
公式6 指数函数的导数：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） 。
（2）可导函数四则运算的求导法则
设 为可导函数，则有
法则1 ；
法则2 ；
法则3 。
3、复合函数的导数
（1）复合函数的求导法则
设 ， 复合成以x为自变量的函数 ，则复合函数 对自变量x的导数 ，等于已知函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量u对自变量x的导数 ，
即 。
引申：设 ， 复合成函数 ， 则有
精品文档，仅供学****与交流，如有侵权请联系网站删除
【精品文档】第 6 页
（2）认知
（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 ，由第二层中间变量 的函数结构设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：
；
（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路
①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；
②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；
③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。
二、导数