文档介绍：高三暑期复****练****九
一、温故知新
1. 若tanα＝3，则的值等于________. 6 解析：＝2tanα.
＋sinα＝，则sin的值是________．
－ 解析：cos＋sinα＝化为cosα＋sinα＋sinα＝，sin＝，sin＝.
△ABC中，tanA＝，tanC＝，则角B的值为________．
解析：tanB＝tan(π－A－C)＝－tan(A＋C)＝－＝－1.
△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________．
2 解析：由正弦定理得＝，＝，＝，＝2.
二、规范典例
【例1】 已知cosα＝，cos(α－β)＝且0<β<α<.
(1) 求tan2α的值；
(2) 求β.
解：(1)cosα＝，α∈，∴ sinα＝，tanα＝4，tan2α＝－.
(2) cosβ＝cos(α－(α－β))＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝，β∈，∴ β＝.
【例2】 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.
解：(解法1)在△ABC中，∵ sinAcosC＝3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有 a·＝3×·c，化简并整理得：2(a2－c2)＝b2，又由已知a2－c2＝2b，∴ 4b＝b2，解得b＝4或0(舍)．
(解法2)由余弦定理得： a2－c2＝b2－－c2＝2b，b≠＝2ccosA＋2， ①
又sinAcosC＝3cosAsinC，∴ sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，
sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC，
由正弦定理得sinB＝sinC，故b＝4ccosA， ②由①②，解得b＝4.
变式 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
(1) 若c＝2，C＝，且△ABC的面积S＝，求a，b的值；
(2) 若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．
解： (1) 由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝＝2，b＝2.
(2) 由题意得sinBcosA＝sinAcosA，
当cosA＝0时，A＝，△ABC为直角三角形；
当cosA≠0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，△ABC为等腰三角形．
所以，△ABC为直角三角形或等腰三角形．
【例3】 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.
(1) 求sinC的值；
(2) 若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．
解：(1) 由已知得2sincos＋1－2sin2＝1－sin，即sin＝0，
由sin≠0得2cos－2sin＋1＝0，即sin－cos＝，两边平方得：sinC＝.
(2) 由sin－cos＝＞0知sin＞cos，则＜＜，即＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－，又a2＋b2＝4(a＋b)－8，即(a－2)2＋(b－2)2＝0，故a＝b＝2，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋2，c＝＋1.