文档介绍：不等式放缩技巧十法
LT
1
2
第六章 不等式
第二节 不等式放缩技巧十法
证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册): 不等式的放缩技巧。
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学****能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：
一 利用重要不等式放缩
1. 均值不等式法
例1 设求证
解析 此数列的通项为
，
，
1
3
即
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：
[简析]
1
4
1
5
只是我们做了少许的推广而已!
2．利用有用结论
例5 求证
简析 本题可以利用的有用结论主要有：
法1 利用假分数的一个性质可得
即
法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得
注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：
证明
1
6
(可考虑用贝努利不等式的特例)
例6 已知函数
求证：对任意且恒成立。
[简析] 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：
而由不等式得
(时取等号)
（），得证！
例7 已知
用数学归纳法证明；
1
7
对对都成立，证明（无理数）
[解析] 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：
。
于是，
即
【注】：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：
，
即
【例8】已知不等式。
1
8
表示不超过的最大整数。设正数数列满足：
求证
【简析】 当时，
即
于是当时有
注：①本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩；
②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学****能力与创新意识。再如：
设函数。
（Ⅰ）求函数最小值；
（Ⅱ）求证：对于任意，有
【解析】（Ⅰ）1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，对x>－1有，利用此结论进行巧妙赋值：取
1
9
，则有
即对于任意，有
例9 设，求证：数列单调递增且
[解析] 引入一个结论：若则
（可通过构造一个等比数列求和放缩来证明，略）
整理上式得（），
以代入（）式得
即单调递增。
以代入（）式得
此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。
1
10