32立体几何中的向量方法.doc

文档介绍：32立体几何中的向量方法.
32立体几何中的向量方法.
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32立体几何中的向量方法.
立体几何中的向量方法
空间距离
利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．
例１如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、 AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B 到平面 EFG 的距离．
分析：由题设可知 CG、CB、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量，它的长即为点
B 到平面 EFG 的距离．
解：如图，设 CD 4i，CB 4j， CG 2k，
以 i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 C－ xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，
E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
∴
BE
(2,0,0)
， BF
(4,
2,0) ，
BG
(0,
4, 2)
， GE
(2, 4, 2)
，
EF
(2,
2,0)
．
设 BM
平面 EFG，M 为垂足，则 M、 G、E、F 四点共面，由共面向量定
理知，存在实数 a、 b、 c，使得 BM
aBE
bBF cBG (a b c 1) ，
∴ BM
a(2,0,0)
b(4, 2,0)
c(0,
4, 2) ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．
由 BM
平面 EFG，得 BM
GE， BM
EF ，于是
B M
G E0， BM EF
0
．
(2 a
4b,
2b
4c, 2c)
(2, 4,
2)
0
∴
(2 a
4b,
2b
4c, 2c)
(2,
2,0)
0
a b
c
1
15
a
a
5c
0
11
7 ．
整理得： a
3b
2c 0 ，解得 b
a
b
c
1
11
c
3
11
BM ＝ (2a+4b,－2b－ 4c,2c)＝ ( 2 , 2 , 6 ) ． 11 11 11
2
2
2
2
11
∴
2
6
2
|BM |
11
11
11
11
故点 B 到平面 EFG 的距离为 2 11 ．
11
说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．
例 2 已知