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问题2：射击问题
摘要
本文就两种不同的情况，建立了两个炮弹的模型，利用了矢量分析和画图的方法求解得出了一致结果即最大射程和最佳发射角。
在模型一、二中，我们建立了炮弹发射的理想化的模型，用matlab软件，分析得到：
时，最大射程为，最佳发射角为；
时，最大射程为，最佳发射角度为
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§ 问题重述
设炮弹的发射角为，发射初速度为，试研究：当炮弹在高度为h时的最大射程和最佳发射角。
考虑到炮弹发射时应满足以下条件：
发射角度最佳；
射程最大；
离地高度一定；
由此我们容易想到用优化理论解决问题。
§ 题目假设
1、本题以中国解放军装备的93式60毫米远射程迫击炮为研究对象。据查相关资料[1]，中国解放军93式60毫米远射程迫击炮最大初速：329米/秒；最大射程：5564米；高低射界：45度-85度；圆周射界：360度。
2、炮弹发射时，是以炮弹在不同高度的最大射程和最佳发射角进行发射；
3、在考虑不同高度发射时，发射角、发射程与初速度之间的关系一一对应的；
4、假设炮弹发射时空气阻力与推力相互抵消。
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§ 变量说明
§ 模型建立与求解
模型一：研究
根据炮弹斜抛运动的规律：
炮弹斜上抛的仰角为，抛出的初速度为。我们先将正交分解为水平分速度和竖直分速度。根据数学关系可以得出：
若把它看作是可忽略空气影响的“理想抛体[2]”，则根据运动分解的理论可知：
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斜上抛物体水平方向不受力，应作匀速直线运动，其速度为，其位移方程应为：
(1)
斜上抛物体竖直方向受向下的重力，与竖直向上的初速度的方向相反，应作竖直上抛运动，其位移方程应为：
(2)
由上列的(1)式可以导出：
(3)
将(3)式代入(2)式：
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导出：
（4）
这里称导出的(4)式为“斜上抛物体运动的轨道方程”。
“射程”是斜上抛物体运动的最大水平位移。因为斜上抛炮弹是在水平面上发射的，所以它的抛出点和落地点在同一水平面上（这实际上是日常最常见的斜上抛情况），也就是说物体在竖直方向的起点和终点的位移。
因此我们将代入前面导出的(4)式（即“轨道方程”），就可推导出最大水平位移（即“射程”）：
(5)
将(5)式两边约去可得：
(6)
根据数学中的“三角学[3]”知识我们知道：
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(7)
将(7)式代入(6)式：
(8)
若以表示“射程”（即最大水平位移）
则 （9）
我们称(9)式为斜上抛物体运动的“射程公式”。
现在我们根据“射程公式”讨论前面所提出的问题：
当V0不变时，以多大的仰角斜上抛出的物体射程最远？据射程公式：
可以看出是常量，若不变，则决定大小的因素就只有的数值了。
用matlab软件绘图[4]，观察其解：
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程序如下：
a=0::pi
s=329^2*sin(2*a)/
plot(a,s)
Grid on
则s最大时：
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即：
当抛物的初速度不变时，以 的仰角斜上抛出的物体射程最远。
模型二：
我们先将初速度V0进行水平、竖直两个方向的正交分解（如图所示）为与之间的夹角：
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再接斜下抛物体的运动分解为：水平方向的匀速直线运动；竖直方向的竖直下抛运动。
它们的运动方程如下：
；（1）
；（2）
将已知量代入竖直方向运动方程(2)中：
；（3）
又因为由模型一知道：
；（4）
由（1）知；（5）
；（6）
；
；
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；
；
即水平射程是：
；
令；
所以
对其求导，关于的方程：
令
即
即