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第一章 实分析概要
本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些根底知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学****泛函分析的必要准备，而且在数学与其它学科中有直接的应用。
第一节 集合与其运算 第二节 实数的完备性 第三节 可数集与不可数集
第四节 直线上的点集与连续函数 第五节 点集的勒贝格测度与可测函数
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第六节 勒贝格积分
第一节 集合与其运算
1〕A∪A=A,A∩A=A;
2〕A∪Φ=A,A∩Φ=Φ；
3〕假如A⊂B，如此A∪B=B,A∩B=A,A\B=Φ；
4) 设X为根本集，如此
A ∪ AC= X , A ∩ AC=Φ, ( AC)C= A, A \ B = A ∩ BC
又假如 A⊂B ，如此 AC⊃BC 。
集合的运算法如此：
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交换律
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ；
结合律
( A∪B) ∪C=A∪ (B∪C) =A∪B∪C；
( A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) =A∩B∩C；
分配律
( A∪B) ∩C= ( A∩C) ∪ (B∩C) ；
( A∩B) ∪C= ( A∪C) ∩ (B∪C) ；
( A \ B) ∩C= ( A∩C) \ (B∩C) .
定理
设 X 为根本集，
Aα
为任意集组，如此
1)
( UAα )C=I ( Aα )C
()
α∈I
α∈I
2)
( IAα )C=U ( Aα )C
()
α∈I
α∈I
A \ ( A \ B)= A I B
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第二节 实数的完备性
有理数的稠密性
实数的完备性定理
定义 (闭区间套)
设{[an,bn]}(n=1,2,L, ) 是一列闭区间， an<bn ，如果它满足两个条件：
1〕渐缩性，即[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃L⊃[an,bn]⊃L;
2) 区间长度数列{bn−an }趋于零，即lim(bn−an)=0
n→∞
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定理 (区间套定理)
设{[an,bn]} 为实数轴上的任一闭区间套，其中 an 与 bn 都是实数，那么存在唯一的一个实数ξ 属
∞
于一切闭区间[an,bn](n=1,2,L) ， 即ξ∈∩[an,bn]，并且
n=1
lim an= lim bn=ξ
n→∞n→∞
利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理〔定理 〕，这个定理的名称的含义在第二
章中解释。我们先介绍一个有关的概念。
命题 设{xn}是一个数列，如此 limxn=a 的充分必要条件是：
n→∞
{xn }的每一个子列都收敛而且有一样的极限值a .
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定理 〔列紧性定理〕√
任何有界数列必有收敛子列
定义 设{xn}是一个数列，如果当m,n→∞时，有xm−xn→0，那么就说{xn}是一个根本
数列或柯西数列。
定理 柯西〔Cauchy〕收敛原理(完备性定理)√
数列{xn}收敛的充分必要条件是，它是一个根本数列。
定理 (单调收敛定理)√
单调有界数列〔即单调增有上界数列或单调减有下界数列〕必然收敛
定义 (确界)设A是一个数集，M是A的一个上〔下〕界。如果对任意的ε>0，必存在
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A 中的数 xε，使得 xε> M −ε(xε< M +ε)，那么就称 M 为数集 A 的上〔下〕确界。定理 确界存在定理(不讲)
由上〔下〕界的数集必有上〔下〕确界。
定义 (覆盖)设[a,b]是一个闭区间，Α={σa|a∈I}是一