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一元二次函数的图象
一、 定义：
一般地，如果y =ax2 • bx - c（a,b,c是常数，a = 0），那么y叫做x的一元二 ，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系 数和常数项。
二、 一元二次函数 y= ax2+ bx + c （ az 0）的图象（其中a,b,c 均为常数）
1. 当a> 0时
函数图象开口向上；
对称轴为x =- 2a/b，有最小值且为（4ac— b2 ）/ 4a；
当x €（-x，- 2a/ b]时递减；当x € [ - 2a/ b,十^）时递增；
0时
函数图象开口向下；
对称轴为x =- 2a/b，有最大值且为（4ac— b2 ）/ 4a；
当x €（-x，- 2a/ b]时递增；当x € [ - 2a/ b,十^）时递减;
2. △= b2 — 4ac
当厶〉。时，函数图象与x轴有两个交点；
当4=0时，函数图象与x轴只有一个交点; 当AvO时，函数图象与x轴没有交点。
(如下图所示)
精选范本
精选范本
精选范本
y = _x
y x y = -2x
2
精选范本
精选范本
归纳：一般地，抛物线y二ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a 0时，抛物
线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a 0时, 抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点， a越大，抛物线的开口越大。
⑵b和a共同决定抛物线对称轴的位置
1 1
例2：画出二次函数y = ——(x・1)2，y = ——(x-1)2的图象，考虑他们的开口方向、
2 2
y —扣 i)2
y「1（ x—i）
1
可以看出，抛物线yn-jd」）2的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x轴 垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线y = -1（x-1）2的开口向下，对 称轴是x=1，顶点是（1,0）。
1
例3：画出函数y=-^（x・1）2一1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。 抛物线y = -lx2经过怎样的变换可以得到抛物线 y =-l（x・1）2 -1 ？
2 2
1
抛物线y （x，1）2-1的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1, -1 ）。
把抛物线y=-^x2向下平移1个单位，再向左平移 2个单位，就得到抛物线
2
(3)顶点坐标是(h, k)
10
j
-1
归纳：一般地，可以用配方法求抛物线
y = ax2 bx • c (a = 0)的顶点与对称轴
y=ax2 bx c=a(x 与 4a^
2a 4a
因此，抛物线ydgc的对称轴是，顶点坐标是
b 4ac - b2、
( ， : )•
2a 4a
⑵c的大小决定抛物线y二ax2 ・bx，c与y轴交点的位置•
当x = 0时，y =c，二抛物线y二ax2 • bx • c与y轴有且只有一个交点(0 , c):
① c = 0，抛物线经过原点；
② c 0,与y轴交于正半轴;
③c 0,与y轴交于负半轴•
以上三点中，当结论和条件互换时仍成立•如抛物线的对称轴在y轴右侧，则
b ：： 0 •
a
(2) a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧
|X 1-X2|= f「4aC , 与 y 轴交点为(0,C)
b2-4ac>0 , ax2+bx+c=0有两个不相等的实根
b2-4ac<0， ax2+bx+c=0 无实根
b2-4ac=0， ax2+bx+c=0有两个相等的实根
、根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条 件
1. 若xvyv m( m为x轴上的一点)，则需满足：
「△> 0
卜-2a/bv m
L f(m) > 0
2. 若mvxvy ( m为x轴上的一点)，则需满足：
「△> 0
卜-2a/b>m
L f(m) > 0
3. 若xv mvy ( m为x轴上的一点)，则需满足：
4. 若x,y €( m,n )( m,n为x轴上的一点)，则需满足：
「△> 0
卜mv - 2a/bv n
Lf(m) > 0,f(n) > 0
5. 若mvxv nvyv p ( m,n,p为x轴上的一点)，则需满足：