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数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：（为常数），
等差中项：成等差数列
前项和
性质：是等差数列
（1）若，则
（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；
（3）若三个成等差数列，可设为
（4）若是等差数列，且前项和分别为，则
（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）
的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，
即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.
当，由可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数的等差数列，有
，.
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（7）项数为奇数的等差数列，有
，
，.
2. 等比数列的定义与性质
定义：（为常数，），.
等比中项：成等比数列，或.
前项和：（要注意！）
性质：是等比数列
（1）若，则
（2）仍为等比数列,公比为.
注意：由求时应注意什么？
时，；
时，.
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列，，求
解时，，∴①
时，②
①—②得：，∴，∴
［练习］数列满足，求
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注意到，代入得；又，∴是等比数列，
时，
（2）叠乘法
如：数列中，，求
解，∴又，∴.
（3）等差型递推公式
由，求，用迭加法
时，两边相加得
∴
［练习］数列中，，求（）
（4）等比型递推公式
（为常数，）
可转化为等比数列，设
令，∴，∴是首项为为公比的等比数列
∴，∴
（5）倒数法
如：，求
由已知得：，∴
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∴为等差数列，，公差为，∴，
∴
(
附：
公式法、利用、累加法、、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：是公差为的等差数列，求
解：由
∴
［练习］求和：
（2）错位相减法
若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.
如：①
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②
①—②
时，，时，
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
相加
［练习］已知，则
由
∴原式
(附：
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头