文档介绍：全轮转向式小车
・、坐标系与位置表示
I > A X)
图1地理坐标系与体坐标系
定义如图所示的坐标系，地理坐标系｛ &, hh体坐标系｛Xy Yr｝,坐标之间 夹角
为0, P点位置描述为
rX-i
山地理坐标转为体坐标的映射山正交旋转矩阵完成
ER = R ⑹ 5 =
反方向变换矩阵如下
R⑹7 =
■ cosO
-sine .0
sinO
cosO
0
0
0
1.
cosO -sine O'
sinO cosO 0
0 0 1.
知二y
x-
y
3」
二、运动学模型与控制律
全向轮直角坐标运动学方程
实际位姿
V
图2轨迹跟踪示意图
坐标系参照图2,对于地理坐标中的位置指令厂 的误差在体坐标系中表不出来
二(Xryr0r)和速度指令卬=(Vr将对应
/Xe\
属=%
\A/
对上式求导的到⑴：
(cosO sinO 0\ /xr ~ x\
-sinO cosO 0 7r - y \ 0 0 1/ \0r - OJ
Xe = (Xr — x)cosO - (%r — x)sinOO + (y「- yAsinO + (y r - y)cosOO =y eO) - (xcosO + ysinO) +
VrCosOrCosO + v「sinO「sinO =y eO) -Vx + v r cos( e 厂 - 0) =y ea) -Vx + v r cos Oe
ye = -(x r - x)sinO - (xr - x)cos0O + (yr - y)cosO 一( % - y)sin60 = -x &a) + (xsinO -
ycosO) - VrcosOrsinO + VrsinOrcosO =-xe o)-Vy + Vr sin Oe
将上式合并写出得到位置误差微分方程
yeo) - Vx + Vr cos0e-xea)-
Vy + Vr sin Oe
0)L(JL)
全向轮宜角坐标下控制律设计
设雅普诺夫函数为
% = *( 龙 + % + %)
求其导数如下，当渐进稳定时导数小于 0；
% = I + y eye + oe6e
乂 e =一眼 1^j7@= -kyy@、£ = 0e
上式系数为正时，雅普诺夫函数的导数小于零，系统渐进稳定 代入微分方程得
到控制律如下：
vx = yeo) + vr cos 0e + kxxe
vy = -x eo) + vr sin 0e + kyye
o) = o) r + k e0e
差动轮直角坐标运动学方程
差动轮与全向轮的区别是，全向轮小车速度方向与四个轮子的共同朝向相同
为任意方向，而差动轮小车的切向速度方向与
x轴重合，故方程中s=o,微分
方程如
下：
y
//n?\
e e g g e ?%
yea) -v + vr cos 0e
-xea) + 坏 sin 0e
o) r — 0)
差动轮直角坐标下控制律设计
选择 Lyapunov 函数如下：
P 2 =才显 + 廿)+ 士(1 一 COS8J
对上式沿求导：
1 .
V2=x exe+y eye + -0 es\n0e
=尢 - v + vr cos 0g) + ye(-xe(jo + v r sin 0e)
+ — s)sin&e
K
1 1
=-x ev + xevr cos 0e + yevr sin 0e + -b ) r sin 0e - -to sin 0eK K
11
=-XeV + XeVr COS 0e + y eVr sin 0e + -0 ) r sin 0e --a) sin 0e 选择如下速度控制
输入：
v = vr Cos 0e + kxxe
o) = o)r + vr(kye + kesinOe)
将上式代入 Lyapunov 函数导数得到：
V2 = -kxXA — A-VrSin2 0e
当上式系数为正时，P 2 S 0,故以上Lyapunov函数选择正确。 山此得到基于运动 学模型的轨迹跟踪速度控制律为****br/>Vr COS 0e + k xXe
o) r + Vr(kye + keSinOey
其中，k,际，褊为控制器参数。
将控制律代入微分方程得下式：
yeAr + V r(kye
PR =
+ 岛 sine- kxXe
-Xe(a) r + V r(kye + k eSinOe)) + V r Sin Qe
-Vr(kye + k eSinOe)
上式在零点附近线性化，忽略