文档介绍：巧用椭圆定义，解决数学问题
湖南省邵阳市第十一中学 谢林宁 尹阳鹏
定义揭示了问题的本质属性，有些数学问题若能构造定义来解题，则可巧妙地化难为易, 本文通过三个方面来说明椭圆定义在解题中的一些应用.
一、利用椭圆定义来解方程、不等式
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若椭圆的方程 与+ 丫2 =1,(a >b >0, a > c > 0, a2 =b2 +c2),设P(x, y)是椭圆是- a b
点，则由椭圆的定义可知， J(x — c)2 +y2 +,(x +c)2 + y2 = ：
2 2
①.(x -c)2 , y2 , (x c)2 y2 =2a= ^2 ^2=1，并由此可得：
a b
2 2
②(x -c)2 y2 .. (x c)2 y2 _ 2a = 0 y■ _ 1
， , a b
2 2
③(x -c)2 y2 (x c)2 y2 _ 2a M q y" 一 1
， , a b
例1、 解方程 Jx2-2x+2 +Jx2 +2x + 2=4.
解：方程可化为 (-x^1)2 y2 - (x 1)2 y2 =4.(y2 =1).
由①式有 c = 1,2 a = 4,b2 = a2 - c2 =4—1 =3.
则有《■！！ =1，即x2 1 =1.
4 3 16 3
解得x = _^6.
3
例 2、解不等式• x2 -4x 10 x2 4x 10 -8.
解：不等式可化为,(x -2)2 y2 ,(x 2)2 y2 -8.(y2 =6).
由②式可知，c =2,2a =8,b2 = a2 -c2 =16-4 =12.
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-1,W — ■ - -1.
16 12
则有二・ L
16 12
解得 x 一2、,2或* 三 一2、、2.
所以不等式的解集为(-二，-2,、2]|J[2 2 •二).
评析：以上两例都含有较为复杂的无理式， 常规方法是两次平方去根号来解题， 则较为繁杂,
计算上难免不出错，但巧妙运用椭圆的定义，变无理式为有理式，使问题大大简化。
利用椭圆定义来解三角问题
, … A B，…
例 3、已知在 AABC中,|AC|+|BC|=10,|AB|=8, 试求 tan -tan —的值.
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解：由题意，因为|AC|+|BC|=10,|AB|=8,所以可构建如右图所示的椭圆模型，设椭圆的
长轴为2a,焦距为2c .
则内=皿=⑥(正弦定理)
sin A sin B sin C
.■ —2a— = —2c—(合比定理，椭圆定义).
sin A sin B sin(A B)
即 sin(A + B) =c = 4.
sin A sin B a 5
2sin*os3
2 2
2sin 98sl 2 2
4 日口 A B 4 A-B
一，即 cos 二 一 cos
5 2 5 2
贝