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多项式复习资料
1. 填空题
P C,0,1 P,
且 ，则说P是一个数域.
2.
3次项系数
0次项(常数项)
首项
次数 1
5x6-2x-1
0
-1
5x6
6
-3
0
-3
-3
0
0
0
0
无
无
3. 如果对任意的g(x),都有f(x) | g(x)，则f(x)= C(工0).
4. 如果对任意的g(x),都有g(x) | f(x)，则f(x)= 0 .
5. 设f(x)的首项系数为a,且f(x) | g(x),则f(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，f(x)与g(x)的全部
最大公因式可以表示为 Cf(x)(C工0) ,(f(x),g(x))= f(x)/a .
6. 如果对任意非零多项式 g(x),都有不等于零的数 G使得(f(x),g(x))= c g(x),则f(x)=_0_.
7. 如果(f(x),g(x))= 1 ,则说 f(x),g(x)互素.
8. 整系数多项式f(x)=x3+ ax2+ bx-1中的系数a, b满足关系 a+ b=0或a- b-2=0 时，f(x)在Q
上可约.
9. 非零多f(x)有重因式的充分必要条件是 (f(x), f'(x))工1 .
10. 在C 上, f(x)可约，则f(x)的次数》2 ;
在R上,f(x)不可约，则f(x)的次数 或=1或=2 ;
在Q上,xn+2 是n( > 1)次不可约多项式.
11 .设用x-1除f(x)余数为5,用x+1除f(x)余数为7,则用x2-1除f(x)余式是 -x+6 .
3
12. 如果f(x)=x -3x+k有重根，那么 k= 2或-2 .
13. 以I为二重根，2, 1+i为单根且首项系数为-2的次数最低的实系数多项式的标准分解式为
2
f(x)= -2 (x-1) (x-2)(x-1-i)(x-1+i).
14. 已知 1-i 是 f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2 的一个根，则 f(x)的全部根是 1-i,1+i, 1-2 _.
15. 设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则 _
或(p(x), f(x)) =1, 或 p(x) I f(x) .
2001
2000 2 2001 3 2 2002
f(x)二 4(5x 4) x - 2xT (8x T1x 2)的
所有系数之和=L,常数项=-22002 。
2. 判断题
()={ a 3| a
｝是数域.
是多项式.
()3. f(x)、g(x)、h(x)以及 g(x)+ h(x)都是非零多项式，则：：(f(x) (g(x)+ h(x)))= ：： ( f(x) g(x))+
：：(f(x) h(x)).
()4. 5和3作为实数域上的零次多项式,5整除3.
()(f(x), f 'x))=( x 2-1)3，则 x 2-1 是 f(x)的四重因式.
() .
()7. f(x)的首项系数是1,则(f(x),g(x))= f(x)的充分必要条件是 g(x) | f(x).
()(x)不能整除g(x)和h(x)，则f(x)不能整除g(x)+ h(x).
() g(x) | f(x), h(x) | f(x)，且 g(x)和 h(x)都是不可约多项式，则 g(x)h(x) | f(x).
() f(x) | g(x)h(x),且(g(x),h(x))=1,则 f(x) | g(x)或 f(x) | h(x).
()11. c是f(x)的k重根的充分必要条件是 x- c是f(x)的k重因式.
()12. f(x)、g(x)是数域P上的多项式，d(x)是f(x)、g(x)的最大公因式的充分必要条件是存在 P
上的多项式 u(x)、v(x),使 d(x)= u(x) f(x)+v(x) g(x).
()13. x6+4 x3-12 x-2 在 Q 上可约.
()(x)在P上没有根，则f(x)在P上必定不可约.
() f(x)|g(x)h(x),且 f(x)|g(x),则(f(x),h(x))=1.
()16. p(x)是f(x)的 k重因式的充分必要条件是 p(x)是f ' (x) k-1重因式.
() .
()18. f(x)=xp+p