文档介绍：求曲线、曲面积分的方法与技巧
计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求 定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲 线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计 算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。
]Wt + 爪 、।
『 其中£是圆工‘+ V = 上从原点
叫到 M.。｝
的一段弧。
本题以下采用多种方法进行计算。
x=,
解1:。.4的方程为L……二，/'由0- 4 A由
dv= . dx.
0 -> 2, 71a-
地+ xdy - j [^2x - x' + , " W*
i v2x- x2
C Fl1 J Ml 一打,J Ml - i),
=xy2i- x . dr+ . ax
|f J"6T7衍7
=274^7-0 = 0.
分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算 的，选用的参变量为尤因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这 种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为 定积分的下限。
解2：在弧。月上取BU」）点,
« , dx = □ - dy.
。打的方程为「由。-& y由(JI、 小-『
y= % y
dx -——dy.
zm的方程为1=1 + /l由8TAy由It。， wF
分析：解2是选用参变量为J；利用变量参数化直接计算所求曲线积分 的，在方法类型上与解1相同。不同的是以‘为参数时，路径，.不能用一个方程 表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在 该部分中参数的起始值作为定积分的下限。
解3： 0A的参数方程为' =1 + cos化尸疝化L由
Ot Bt 0 8 由tt。，dx=-疝0曲，加雎0M.
J 地 + .助 J 卜疝 0 + (I + cos 0 icos。|曲- j J-叱 ° - cos 10 \d0 =(-sin 0 ——sin 功=(k
解4： Q4的极坐标方程为『-2我代”,因此参数方程为
4
“ro)s&-2雌8*八「疝八2疝8cos机工由0t 8T AS由
力今0
2 勺 ' d\ = "4sin cos 0(10. dy- 2(cos2 fl - sin2 0)(10.
j ydx + xdy = [r [-8sin 20 cos2 fl + 4cos2 (cos :0-^n'0 )]d&
4 1 , . 1 1 3 1
=41 [3 cos 8+4 cos 8 \dd = 4(3* — - - - 4—'-■ --) = 0,
Jo 2 2 4 2 2
分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条 曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但 都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解5:添加辅助线段A0,利用格林公式求解。因
PQ ZP
P"Q二 X dx cy
1-1 = 0,
于是
,yds + xdy =^dxdy\
ao a
f ydx xdy = J Orfv = 0, 而
20 dP
f P( a, y)dx + 0(茁y)dy - Jj(- jdxdy
分析：在利用格林公式, “ 将所
求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添 加辅助曲线，采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但 匕Q必须在
补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。 [,是。的正向边界曲线。解5
中添加了辅助线段4°，使曲线£+ 4。为正向封闭曲线。
OQ IP _ ］
解6：由于P二乂 Q二工办 '于是此积分与路径无关，故
f ydx + xdy - f ydx + 产期」/ 的
J . 』J， ，二［ydx: xdy - \ Orfx = 0.
L OA 」iia "
分析：由于匕。在闭区域。上应具有一阶连续偏导数，且在。内
竺竺
山,。丁因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在
分为在。4上积分，注意0点对应｛的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为 新的积分路径，可使原积分得到简化。
解7:由全微分公式
0.
分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。
■
t(z- + ( a - z)rfr+ (x- 丁)改，
, 其中C是曲线
*->+*= 2,从］轴正向往/轴负向看的方向是顺时针的。
解1:设、表示平面Y-J'+z二2上以曲