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必修五：解三角形
知识点一：正弦定理和余弦定理
1正弦定理：si nA
b
sin B
=2R
sinC 或变形:
a: b:c = sin A:sin B:sin C
2 •余弦定理:
r 2
a
b2
2
c
-b2
2 =a
-b2
c2
c2
a2
— 2bccosA
—2accosB
—2bacosC
■ 2 2 2 cosA」c_a 2bc
2 2 2
a c -b
2ac
b2 + a2 _ c2
cosC
2ab
* cosB =
3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题:
1、
已知两角和任意一边，求其他的两边及一角
、已知两角和其中一边的对角，求其他边角
（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•
、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角
4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式
5•解题中利用 ABC中A B ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的
运算 女口. sin(A + B) =sin C, cos(A十 B) =—cosC, tan(A + B) = —tanC,
A B C A B C A B C
sin cos ,cos sin ,ta n cot —
2 2 2 2 2 2
已知条件
定理应
用
一般解法
一边和两角
（如 a、B C）
正弦定
理
由A+B+C=180°,求角A,由正弦定理求出 b与c,在有解时 有一解。
两边和夹角
（如 a、b、c）
余弦定
理
由余弦定理求第三边 C,由正弦定理求出小边所对的角，再
由A+B+C-180求出另一角，在有解时有一解。
三边
（如 a、b、c）
余弦定
理
由余弦定理求出角 A、B,再利用A+B+C-180',求出角C 在有解时只有一解。
的三个内角满足 sinA:sinB:sinC =5:11:13，则 ABC是 （ ）
A. 锐角三角形B•钝角三角形 ，也可能是钝角三角
，角
则角A的大小为
A, B, C所对的边分别为
()A -
2
a , b, c,若 a-、. 2 ,
r 兀 c 兀
B. _ C —
3 4
b=2,
sinB+cosB= 、、2 ,
D.
兀
6
3.
在厶ABC中，
a = 7,b = 4 .r$3, c = 13 ,
则最小角为
ji
n
Tt
JI
A、
— B
、一 C 、
— D 、
—
3
6
4
12
4.
已知ABC中，
AB =4, AC =3,. BAC
=60 °，则 BC =(
)
A. 13
B. 13
D.
10
5. 在锐角 ABC中，若C =2B，则c的范围( )
b
A. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,