4.协方差及相关系数.pdf

文档介绍：第四章 随机变量的数字特征
§
1、定义
称COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY
为随机变量X,Y的协方差. 而 COV(X,X)=DX.
COV (X ,Y )
 XY 
DX . DY 为随机变量X,Y的相关系数。
 XY 是一个无量纲的量；若 XY =0，
称 X,Y 不相关,此时 COV(X,Y)=0。
定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。
证明：由数学期望的性质有
E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)
又 E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0
所以 。
E(X-EX)(Y-EY)=0 返回主目录
即 COV(X,Y)=0
第四章 随机变量的数字特征
注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY-EXEY 0，则
X，Y一定相关，且X，Y一定不独立。
2、协方差的性质
1) COV(X,Y)=COV(Y, X);
2) COV(aX， bY)=abCOV(X,Y);
3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);
4) 若 X,Y 不相关，则：EXY=EXEY, D(aX+bY)= a2DX  b2DY
由方差的性质３）知：
D(aX+bY)= a 2 DX  b2 DY  2abCOV (X ,Y )
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第四章 随机变量的数字特征
3、相关系数的性质
1)  XY  1.
2)  XY  1  存在常数 a,b 使 P{Y=a+bX}=1.
证明：
令：e  E[Y  (a  bX )] 2
 EY 2  b 2 EX 2  a 2  2aEY  2bEXY  2abEX
求 a,b 使 e 达到最小
e
 2a  2bEX  2EY  0
a
令　 
e
  2bEX 2  2EXY  2aEX  0
b
将 a  EY  bEX , 代入第二个方程得
EXY  EXEY
bEX 2  EXY  (EY  bEX )EX  0, 故 b 
EX 2  (EX )2
第四章 随机变量的数字特征
COV (X ,Y )
b0  ;
解得　　 DX
COV (X ,Y )