文档介绍:第四章 随机变量的数字特征
§
1、定义
称COV(X, Y)= E(X-EX)(Y-EY)= EXY-EXEY
为随机变量X,Y的协方差. 而 COV(X,X)=DX.
COV (X ,Y )
XY
DX . DY 为随机变量X,Y的相关系数。
XY 是一个无量纲的量;若 XY =0,
称 X,Y 不相关,此时 COV((,)X,Y)=0。
定理:若X,Y独立,则X,Y不相关。
证明:由数学期望的性质有
E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)
又 E(X-EX)=0, E(Y( -EY)=0
所以 。
E(X-EX)(Y-EY)=0 返回主目录
即 COV(X,Y)=0
第四章 随机变量的数字特征
注意:若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY-EXEY 0,则
X,Y一定相关,且X,Y一定不独立。
2、协方差的性质
1) COV(X,Y)=COV(Y, X);
2) COV(aX , bY)= abCOV(X,Y);
3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);
4) 若 X,Y 不相关,则:EXY=EXEY, D(aX+bY)= a2DX b2DY
由方差的性质3)知:
D(aX+bY)= a 2DX b 2DY 2abCOV(X ,Y )
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第四章 随机变量的数字特征
3、相关系数的性质
1) XY 1.
2) XY 1 存在常数 a,b 使 P{Y=a+bX}=1.
证明:
令:e E[Y (a bX )] 2
EY 2 b 2 EX 2 a 2 2aEY 2bEXY 2abEX
求 a,b 使 e 达到最小
e
2a 2bEX 2EY 0
a
令
e
2bEX 2 2EXY 2aEX 0
b
将 a EY bEX , 代入第二个方程得
EXY EXEY
bEX 2 EXY (EY bEX )EX 0, 故 b
EX 2 (EX )2
第四章 随机变量的数字特征
COV (X ,Y )
b0 ;
解得 DX
COV (