文档介绍：简化解析几何运算技巧专题
专题：简化解析几何运算的5个技巧
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．
技法一
巧用定义，揭示本质
定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．
[典例] 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线
C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知，得F1(－，0)，F2(，0)，
设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，
可得解得a2＝2，
故a＝．所以双曲线C2的离心率e＝＝．
所以的最小值为．
答案：
技法二
设而不求，整体代换
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．
[典例] 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
①－②得＋＝0，
所以kAB＝＝－＝．
又kAB＝＝，所以＝．
又9＝c2＝a2－b2，
解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的方程为＋＝1．
[答案] D
[方法点拨]
本题设出A，B两点的坐标，却不需求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
[对点演练]
过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴＋＝0，
∴＝－·．
∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－＝－，∴a2＝2b2．
又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝．
即椭圆C的离心率e＝．
答案：
技法三
巧用“根与系数的关系”，化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
[典例] (2016·全国甲卷)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
[解] 设M(x1，y1)，则由题意知y1>0．
(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为．
因此直线AM的方程为y＝x＋2．
将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0．
解得y＝0或y＝，所以y1＝．
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝．
(2)由题意知t>3，k>0，A(－，0)．
将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1，
得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0．
由x1·(－)＝，得x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝．
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝．
由2|AM|＝|AN|，得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝时上式不成立，因此t＝．
t>3等价于＝<0，
即<0．
因此得或解得<k<2．
故k的取值范围是(，2)．