文档介绍：第三章 矩阵对角化、若当原则型
§ 矩阵对角化
线性变换在基下矩阵若为对角阵，则向量在基下表达将非常简朴，而线性变换在两个基下矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。
一、特性值、特性向量性质
定义1 设，称全体特性值为谱。
下面定理1是显然。
定理1 相似矩阵有相似特性多项式，从而有相似谱。
由于矩阵不同特性值相应特性子空间和是直和，故有下面定理2。
定理2 设，则不同特性值相应特性向量线性无关。
定义2设，为特性值，称特性多项式中重根数为代数重复度，称特性子空间维数为几何重复度。
由定义2即知特性值几何重复度为相应于特性值线性无关特性向量个数。
定理3 设，为特性值，为几何重复度，则
证明 特性子空间，因此
例1 求谱，及相异特性值代数重复度和几何重复度。
解
因此谱为，，代数重复度分别为。
几何重复度
几何重复度
定理4 设，为特性值，为代数重复度，为几何重复度，则。
证明 由于为几何重复度，因此相应于有个线性无关特性向量是特性子空间基，将扩充为基
设，则
其中，。
因此矩阵与相似，故特性多项式
又由于
因此。
二、矩阵对角化
定义3 设，若与对角阵相似，则称可对角化，可对角化矩阵称为单纯矩阵。
定理5 设，则为单纯矩阵充分必要条件是任一特性值代数重复度等于几何重复度。
证明 设为所有相异特性值，为代数重复度，为几何重复度，。
充分性 由于，，因此有个线性无关特性向量
其中为相应特性向量，。
设
则
故
必要性 设与相似，则是特性值，不妨设
则关于特性值至少有个线性无关特性向量，即，又由定理4：，故得，。
由定理5证明显然有下面结论。
推论1 设，则为单纯矩阵充分必要条件是有个线性无关特性向量。
推论2 设，若有个不同特性值，则为单纯矩阵。
三、正规阵及其对角化
定义4 设，如果，则称为复（实）正规阵。
显然埃尔米特矩阵（对称阵）、反埃尔米特矩阵（反对称阵）和酉矩阵（正交阵）都是复（实）正规阵。
定义5 设，若，使得
（）
则称酉（正交）相似。
引理1（司楚尔（Schur）引理） 设，则，使得，其中是上三角阵，且对角线为特性值。
证明 用归纳法 当时，命题显然。假设时命题成立，要证时命题也成立。
设，为特性值，为其相应特性向量，且。将扩充为原则正交基
记，则
由于，故由假设，使得，其中为上三角阵。因此
因此
记，，则
，且
其中为上三角阵。
由于与酉相似，故与有相似特性值，因此对角线元素为特性值。
推论3 设，则，使得，其中是 下三角阵，且对角线为特性值。
定理6 设，则为正规阵充分必要条件是，使得，其中，是特性值。
证明 必要性 由司楚尔引理，使得
，
且对角线为特性值。
由于
因此， 即
比较此式两端即得。
充分性 ，故。
推论4 正规阵是单纯矩阵。
推论5 正规阵属于不同特性值特性子空间正交。
证明 由定理6知酉相似对角阵，故不同特性值特性子空间基底正交，故得证。
推论 6 设为正规阵，其特性值为，则特性值为。
证明 由于为正规阵，因此，使得
因此
即特性值为。
推论7 设为正规阵，则为Hermite矩阵充分必要条件是特性值都是实数。
证明 由推论6，若，则特性值为实数。反之若特性值为实数，则。
推论8 设为正规阵，则为酉矩阵充分必要条件是特性值。
证明 由于为正规阵，因此，使得
若，则，即，。
反之，若，，则。
阶正规阵酉相似于对角阵，求酉矩阵，使得
办法与线性代数中实对称阵对角化办法相似，简介如下。
求出相异特性值
对每个相异特性值求出其相应特性子空间基底（即方程基本解系），
。
将化为相应特性子空间原则正交基（用施密特正交化，然后单位化），
取，则
§ 埃尔米特二次型
埃尔米特矩阵是实对称阵推广，而一种实对称阵相应着一种实二次型，相应咱们讨论复（埃尔米特）二次型，这在力学及其他某些工程中有重要应用。
埃尔米特矩阵
定理1 设，则
（1）酉相似于对角线上都是特性值对角阵，且特性值都是实数。
（2）若，则与矩阵合同（称为正惯性指数，为负惯性指数）。
证明 （1）由本章§1定理6及推论7即得。
（2）由于为正规阵，因此，使得