文档介绍：考研--高数讲义
第一讲 极限与连续
一、重要的概念
1．极限定义
（1）数列极限定义—（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为数列的极限，记。
（2）自变量趋于无穷时函数极限的定义—（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数当时的极限，记。
（3）自变量趋于有限值时函数极限的定义—（）：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数当时的极限，记。
（4）左右极限的定义—：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数在处的左极限，记。
：若对任意的，总存在，当时，有成立，称为函数在处的右极限，记。
注解：存在都存在且相等。
2．无穷小
（1）无穷小的定义—以零为极限的函数称为无穷小。
（2）无穷小的层次关系及等价无穷小的定义
设，若，称是的高阶无穷小，记为；若，称与为同阶无穷小，记为，特别地，若，称与为等价无穷小，记为。
（3）无穷小的性质
1）有限个无穷小之和还是无穷小；
2）无穷小与有界函数之积还是无穷小；
3）无穷小与常数之积还是无穷小；
4）有限个无穷小之积还是无穷小；
5）的充分必要条件是，其中；
6）；
7），且存在，则也存在且。
（4）时常用的等价无穷小
1）；
2）（）；
3）；
4）。
3．连续
（1）若，称在点处连续；
（2）若在区间内点点连续，且，称在区间上连续，记为。
4．间断点的分类
设在处间断，则
（1）若都存在，则称为函数的第一类间断点，更进一步，
1）若，称为的可去间断点；
2）若，称为的跳跃间断点。
（2）若至少有一个不存在，称为函数的第二类间断点。
二、重要定理
（一）极限定理
1．极限存在必唯一性定理—极限存在必唯一（需掌握证明）。
2．数列极限的有界性定理—若，则存在，对一切的，有。（需掌握证明）。
3．夹逼定理—设，且，则（对数列有同样的定理）。（需掌握证明）。
（二）闭区间上连续函数的性质
1．最值定理—设，则在区间上取到最大和最小值。
2．有界定理—设，则存在，使得。
3．零点定理—设，且，则存在，使得。
4．介值定理
（1）设，对任意（其中为在上的最小值和最大值），存在，使得。
（2）设，且（不妨设），对任意，存在，使得。
三、重要极限
1．； 2．。
四、常用的马克劳林公式
（1）。
（2）。
（3）。
（4）。
（5）。
（6）。
（7）。
五、常见题型
（一）求极限
注解：求极限的方法
方法一：重要极限
方法二：极限存在准则
方法三：等价无穷小
方法四：马克劳林公式
方法五：罗必达法则
方法六：中值定理
方法七：定积分
1．。
解答：
，
，
因为，
，所以。
9．。
10．。
解答：，
由及，得
，
从而，于是。
11．。
12．。
13．求常数，使得。（）
14．设，求的间断点并指出其类型。
解答：首先，
其次的间断点为，因为，所以为函数的第一类间断点中的可去间断点，为函数的第二类间断点。
15．设在上连续，任取（），任取（），证明：存在，使得。
第二讲 一元函数微分学
一、重要的概念
1．导数—设的定义域为，，记，若存在，称在点处可导，其极限称为函数在点处的导数，记为或。
2．左、右导数—若存在，称在处右可导，记为；
若存在，称在处左可导，记为，函数在处可导的充分必要条件是其左右导数都存在且相等。
注解：导数的其他定义
（1）；
（2）；
（3）。
2．可微—设在的邻域内有定义，若，称在处可微，其中称为函数在处的微分，记为****惯上记为。
二、重要的定理
1．若函数可导，则函数一定连续。
2．可导与可微等价。
3．四个中值定理
（1）罗尔中值定理—
（2）拉格郎日中值定理
（3）柯西中值定理
（4）泰勒中值定理
三、重要公式
（一）基本求导公式
（二）四则求导法则
（三）复合函数链式求导法则
四、一元函数微分学的应用
（一）单调性与极值
（二）最值
（三）凹凸性
（四）弧微分、曲率与曲率圆
1．弧微分
（1）（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则。
2．曲线的的曲率 ； 3．曲线的曲率半径为；
4．曲率圆
（1）定义—设函数在处有二阶导数，且，记
为曲线上对应于的点，若圆在点满足：与曲线相切；与曲线有相同的凹凸方向；与曲线在点处有相同的曲率半径，称圆为曲线在点处的曲率圆。
（2）曲率圆的中心
曲率圆中心必在曲线在处的法线上，所以有。
又，则。
例子
1．求曲线在点处的曲率圆。
解