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第一章 行列式
性质 1
行列式与它的转置行列式相等 。
性质 2
互换行列式的两行
（列）， 行列式变号 。
推论
如果行列式的两行 （列）完全相同 ，则此行列式等于零 。
性质 3
行列式的某一行 （列）中所以的元素都乘以同一个数
，等于用数 乘以此行列式 。第行（或者列 ）乘以，记
作(或)。
推论
行列式的某一行
（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
。第行（或者列 ）提出公因子 ，
记作
(或 )。
性质 4
行列式中如果两行
（列）元素成比例 ，此行列式等于零 。
性质 5
若行列式的某一列
（行）的元素都是两数之和 ，例如第 列的元素都是两数之和 ，则等于下列两个行列式之
和：
′ ′
′ ′
=
′ ′
性质 6 把行列式的某一列 （行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 （ 行）对应的元素上去 ，行列式不变 。
定义 在阶行列式 ，把（ ）元所在的第 行和第列划去后 ，留下来的 阶行列式叫做 （ ）元的余子式 ，记作；记
，叫做（ ）元的代数余子式 。
引理 一个 阶行列式 ，如果其中第 行 所有元素除 （ ）元外都为零 ，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积 ，
即
定理 3 (行列式按行按列展开法则 ) 行列式等于它的任一行 （列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和 ，即
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，，，或
，
，
推论
行列式某一行 （列）的元素与另一行 （列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
和
范德蒙德行列式
克拉默法则
①
如果线性方程组 ① 的系数行列式不等于零 ，即
，
那么 ，方程组 ① 有唯一解 ， ，， 其中 ， ， ， 是把系数行列式矩阵 中第 列的元素用方程组
， ，
右端的常数项代替后所得到的 阶行列式 ，即
， ，
定理 4 如果非齐次线性方程组的系数行列式 ，则非齐次线性方程组一定有解 ，且解是唯一的 。
定理 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解 ，则它的系数行列式必为零 。
定理 5 如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次线性方程组没有非零解
定理 如果齐次线性方程组有非零解 ，则它的系数行列式必为零
第二章 矩阵级其运算
定义 1 由 个数 ， ， ，排成的行列的数表，称为行列矩阵；
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以数 为 ， 元的矩阵可简记作 （）或（）
矩阵也记作
。
行数和列数都等于
的矩阵称为 阶矩阵或 阶方阵 。阶 矩阵 也记作 。
特殊定义 ：
两个矩阵的行数相等
，列数也相等时 ，就称它们是
同型矩阵
同型矩阵 和的每一个元素都相等
，就称两个矩阵
相等 ，
；元素都是零的矩阵称为零矩阵
，记作；注意不同型的零矩阵是不同的 。
特殊矩阵
阶单位矩阵 ，简称 单位阵 。 特征：主对角线上的元素为 ，其他元素为 ；
对角矩阵 ，特征 ：不在对角线上的元素都是 0 ，记作 ， ，
定义 2 矩阵的加法
设有两个 矩阵 （）和 （），那么矩阵 与的和记作 ，规定为
注意 ：只有当两个矩阵是同型矩阵时 ，这两个矩阵才能进行加法运算 ；
矩阵加法满足运算律 （设，，都是 矩阵）
（ i.）
（ ii.）
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