线性代数完美总结版.docx

文档介绍：《线性代数及其应用》
一、行列式
1、余子式，代数余子式
2、几个定理 ( 定理 ， ， )
按行展开： A ai1Ai1 ai 2 Ai 2 L ain Ain , i 1,2, L , n
按列展开： A a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj , j 1,2, L , n
定理 ai1Aj1 ai 2 Aj 2 L ain Ajn 0, i j ；
a1i A1 j a2 i A2 j L ani Anj 0, i j .
3、行列式的性质
|A| |AT|.
若行列式的某一列 ( 行 ) 可以拆成两列 ( 行) 之和，则行列式可以拆成两个行列式
之和，即
1,L , j j ,L , n 1,L , j ,L , n 1 ,L , j ,L , n .
若行列式有两列 ( 行 ) 成比例，则行列式等于零 .
初等变换性质
A
A
A

ri k
或ci k
i +l r j 或cj +l ci
ri r j 或ci cj

1
B A B ;
k
A B ;
BAB.
4、行列式计算：三角化法 ( 性质 ) ；
降阶法 ( 性质 +展开定理 ) ；
范德蒙德、三对角行列式的结论 .
5、分块矩阵的行列式
A
O
A
C
A
O
O
B
O
B
D
A B
B
O
Am
C
A
O
A
mn
Bn
O
B
O
B
(
1) AB
D
二、矩阵
1、矩阵及其运算 ( 加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算 )
(1)
乘法的 结合律
二项式定理 --
(2)
方阵的幂的求解
矩阵 列 行 -- 例 、例
可对角化

大学数学
(AT )T
A
(3)
(A B)T
AT
B T
转置的性质：
kAT
(kA)T
(AB )T
BT AT
| A |
|AT|;
(4)
方阵的行列式： | kA |
k n | A |;
|AB |
| A||B |.
分块运算 ( 转置、乘法 -- 例 、 )
2、初等变换及初等矩阵
(1) 左行右列 ( 矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示 )
A
初等行变换 A
A
A
初等列变换 A
A

ri k
ri +l r j
ri rj
ci k
cj +l ci
ci c j

B E m[ i (k )] A B;
B E m[i j (l )] A B ;
B E m[i, j ] A B;