文档介绍：考研数学线性代数讲义
目录
第一讲
基本概念
线性方程组
矩阵与向量
初等变换和阶梯形矩阵
线性方程组的矩阵消元法
第二讲
行列式
完全展开式
化零降阶法
其它性质
克莱姆法则
第三讲
矩阵
乘法 乘积矩阵的列向量和行向量
矩阵分解
矩阵方程
逆矩阵
伴随矩阵
第四讲
向量组
线性表示
向量组的线性相关性
向量组的极大无关组和秩
矩阵的秩
第五讲
方程组
解的性质
解的情况的判别
基础解系和通解
第六讲
特征向量与特征值
相似与对角化
特征向量与特征值
— 概念 ,计算与应用
相似
对角化 —判断与实现
附录一
内积 正交矩阵
施密特正交化
实对称矩阵的对角化
第七讲
二次型
二次型及其矩阵
可逆线性变量替换
实对称矩阵的合同
标准化和规范化
惯
性指数
正定二次型与正定矩阵
附录二
向量空间及其子空间
附录三
两个线性方程组的解集的关系
附录四
06,07 年考题
第一讲
基本概念
1．线性方程组的基本概念
线性方程组的一般形式为
:
a
11x1+a12x2++a1nxn=b1,
a
21x1+a22x2++a2nxn=b2,
a
x +a
x + +a x =b ,
m1 1
m2 2
mn n
m
其中未知数的个数
n 和方程式的个数
m不必相等 .
线性方程组的解是一个
n 维向量 (k ,k
,,k
n
)( 称为解向量 ), 它满足 : 当每个方程中的
1
2
未知数 xi 都用 ki 替代时都成为等式 .
线性方程组的解的情况有三种
:无解,唯一解 ,无穷多解 .
对线性方程组讨论的主要问题两个
:(1)
判断解的情况
.(2) 求解 , 特别是在有无穷多接时
求通解 .
b1=b2= =bm=0 的线性方程组称为
齐次线性方程组 .
n 维零向量总是齐次线性方程组的解
, 称为零解 . 因此齐次线性方程组解的情况只有两
种: 唯一解 ( 即只要零解 ) 和无穷多解 ( 即有非零解 ).
把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成
0，所得到的齐次线性方程组称为
原方程组的 导出齐次线性方程组
，简称 导出组 .
2. 矩阵和向量
基本概念
矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.
由 m n 个数排列成的一个 m行 n 列的表格 , 两边界以圆括号或方括号 , 就成为一个 m
型矩阵 . 例如
2-1011
1
1
1
0
2
254-29
3
33-18
是一个 4
5 矩阵 . 对于上面的线性方程组
, 称矩阵
a
11 a 12
a 1n
a
11 a 12
a 1n
b1
A= a 21 a 22a 2n 和 ( A| )= a 21 a 22a 2n
b2