线性代数解答题2.docx

文档介绍：４５２Ｐ０３５
７６
设： 1, 2,
, s 是方程组
AX
b 的解向量， 若 k1 1 k2 2
ks s 也是 AX b
的解向量，则，
k1
k2
ks
1．
４５２Ａ０３５
７６
证明：由已知得，
b
A( k1 1
k2 2
ks s ）
k1 A 1
ks A s＿＿４分
k1b
k 2b
ksb ( k1
k2
ks )b
＿＿＿＿＿８分
又 b
0
，故 k1
k2
ks
1
．
＿＿＿＿＿＿１０分
４５２Ｐ０３８
７７
已知： X 0 是非零的 n 维列向量， X 0
X 0
1，且 A
E
X0X0 ，
求证： A 不可逆．
５４２Ａ０３８
７７
证明：由于 A0
0 ，故
AX 0
(E X0X0 )X0
EX 0
X0X0 X0
X 0
X0(X0 X0)
X 0
X 0
0 ．
＿＿＿＿＿＿＿＿
５分
所以， X0是 AX
0 的一个非零解．
＿＿＿＿＿＿＿＿
８分
则
A
0 ，即， A 不可逆．
＿＿＿＿＿＿＿＿
１０分
４５２Ｐ０３９
７８
已知： A3 3
0,
B3 3
0 ， B 的每一个列向量都是
AX
0 的解，
求证： B
0 ．
４５２Ａ０３９
７８
证明：由于 A3
3
0,
B3
3
0， R(A)
0 ，
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
２分
故 AX
0 的解空间的维数小于３，
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
４分
而 B 的三个列向量都是
AX
0 的解，
故 B 的三个列向量线性无相关
,
从而 B
0 ．
_____________________10 分
５５３Ｐ００４
７９
设 X 为 n 维列向量，且 X X
1，求证： A
E 2XX 为对称正交阵．
５５３Ａ００４
７９
证明： A
(E 2XX )
E
(2XX )
E
2XX
A ，
所以， A 为对称阵．
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
４分
AA
(E 2XX )(E
2XX) E
4XX XX
4 XX ， ＿＿＿＿＿
８分
由已知
因此，
５５３Ｐ００６

X X 1，故 4XX XX 4XX AA E ，所以， A E 2XX
８０

，
为对称正交阵．＿＿＿＿＿＿＿１