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统考作业题目——4-4
1．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数〕，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取一样的长度单位。曲线的极坐标方程为 .
〔1〕求的普通方程和的直角坐标方程；
〔2〕点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.
2．极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位一样。直线l的极坐标方程为：ρ=102sinθ-π4，点P(2cosα,2sinα+2)，参数α∈[0,2π]．
〔I〕求点P轨迹的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕求点P到直线l距离的最大值．
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1、【详解】
〔1〕
因为，
所以，即
〔2〕因为圆心到直线距离为，
所以点到直线距离的最大值为
2、解：〔Ⅰ〕设P(x,y)，如此x=2cosαy=2sinα+2，且参数α∈[0,2π]，
消参得：x2+(y-2)2=4
所以点P的轨迹方程为x2+(y-2)2=4
〔Ⅱ〕因为ρ=102sinθ-π4
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所以ρ2sinθ-π4=10
所以ρsinθ-ρcosθ=10，
所以直线l的直角坐标方程为x-y+10=0
法一：由〔Ⅰ〕点P的轨迹方程为x2+(y-2)2=4
圆心为〔0,2〕，半径为2．
d=|1×0-1×2+10|12+12=42，
P点到直线l距离的最大值等于圆心到直线l距离与圆的半径之和，
所以P点到直线l距离的最大值42+2．
法二：d=|2cosα-2sinα-2+10|12+12=2|cosα-sinα+4|=22cosα+π4+4
当a=74π时，dmax=42+2，即点P到直线l距离的最大值为42+2．
3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cosθy=3sinθ〔θ为参数〕，曲线C2的参数方程为x=4-22ty=4+22t〔t∈R，t为参数〕.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
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(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标.
4．在直角坐标系中曲线的参数方程为 〔为参数，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
〔1〕写出的普通方程和的直角坐标方程；
〔2〕设点在上，点在上，求的最小值与此时的直角坐标.
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3、【详解】
〔1〕对曲线C1：cos2θ=x2，sin2θ=y23，
∴曲线C1的普通方程为x2+y23=1．
对曲线C2消去参数t可得t=(4-x)×2,且t=(y-4)×2,
∴曲线C2的直角坐标方程为x+y-8=0．
又∵x=ρcosθ,y=ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ-8=2ρsinθ+π4-8=0
从而曲线C2的极坐标方程为ρ=42sin(θ+π4)。
〔2〕设曲线C1上的任意一点为P( cosθ , 3sinθ )，
如此点P到曲线C2：x+y-8=0的距离d=|cosθ+3sinθ-8|2=|2sin(θ+π6)-8|2，
当sin(θ+π6)=1，即θ=π3时，dmin=32，此时点P的坐标为( 12 , 32 )．
4、【详解】
〔1〕曲线的参数方程为〔为参数〕，
移项后两边平方可得，
即有椭圆；
曲线的极坐标方程为，
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即有，
由，，可得，
即有的直角坐标方程为直线；
〔2〕设，
由到直线的距离为
当时，的最小值为，
此时可取，即有.
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，曲线C的参数方程是x=2cosθy=3sinθ〔θ为参数〕，以O为极点，
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x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-3=0．假如直线l与曲线C相交于不同的两点A,B，且P(3,0)，求|PA|⋅|PB|的值．
6．直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
〔Ⅰ