圆锥曲线统一定义的应用.docx

文档介绍：圆锥曲线统一定义的应用
圆锥曲线统一定义的应用
圆锥曲线统一定义的应用
圆锥曲线统一定义的应用
山东
王芳
一、圆锥曲线的统一定义
椭圆、 双曲线和抛物线统称为圆锥曲线，
在解题过程中， 我们经常用到它们的统一定义：平
面内与一个定点
F 和一条定直线 l 的距离之比为常数
e 的点的轨迹，当 0
e 1 时，轨迹是
椭圆；当 e
1
时，轨迹是双曲线；当
e 1
时，轨迹是抛物线．其中，点
F 是曲线的焦点，
直线 l 是对应于焦点 F 的曲线的准线，
e 为离心率．
圆锥曲线的统一定义把焦点、
准线和离心率巧妙地联系起来，
在解相关的题目时， 如能巧妙
运用统一定义，能起到化繁为简的作用，使问题简洁明快的得以解决．
二、圆锥曲线统一定义的应用
1．求距离问题
例 1 椭圆 x2
y2
1 上一点 P 到左焦点的距离为
6，则点 P 到右准线的距离是多少？
100
36
解：由第一定义，点
P 到右焦点的距离为 2a 6
14 ，
再由统一定义，得
14
e
8
，
35
d
10
35 ．
∴ d
，所以点 P 到右准线的距离为
2
2
2．求最值问题
例 2 已知椭圆方程为
x2
y 2
1 ，右焦点为 F ， A(2，1)
为其内部一点，
P 为椭圆上一动
16 12
点，求 P 点坐标，使 PA 2 PF 最小．
解：如图，由题意得
a
4 ， b 2 3
，
∴ c
2
c
1
， e
，
a
2
由统一定义知 2 PF 即为 P 到右准线的距离，
因此，要使
PA
2 PF 最小， P 点除了应在 y 轴
的右侧外，还要使
AP 与过 P 点且与准线垂直的线共线即可，
y
，
1
2 33，．
由
x
2
y
2
，解得
P
点坐标为
，
3
1
16
12
1
3．求轨迹方程
例 3 点 M 与点 F (0， 2) 的距离比它到直线 l : y 3 0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程．
解：由题意可知，点 M 与