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[数学]概率论与数理统计.ppt

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文档介绍:§6.1 点估计
总体X的分布函数F(x;) 的形状是已知的,但其中为未知参数, 为参数空间。设X1, … , Xn是总体X的一个样本,若统计量g(X1, … , Xn)可作为的一个估计,则称其为的一个估计量,记为
若x1, … , xn是样本的一个观测值。
由于g(x1, … , xn) 是实数域上的一个点,现用它来估计, 故称这种估计为点估计。
第一页,共32页。



eg1.已知每包打印纸的重量X~N(,2),其中,未知,现对其中9包打印纸称重:


试估计。
解:设Xi=第i包打印纸重,Xi~N(,2)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
kg
1.8
2.1
1.9
1.8
2.0
1.9
2.0
2.1
1.8
第二页,共32页。



2.设(X1,X2, … ,Xn)是总体X的样本:
(1)X的k阶原点矩:k=E(Xk)
样本的k阶原点矩:
一.矩估计法
1.矩估计法:
(1)用样本矩作为总体同阶矩的估计;
(2)若 是未知参数的矩估计,则g()的矩估计为g( )。
(2)X的K阶中心矩:k=E{[X-E(X)]k}
样本的k阶中心矩:
第三页,共32页。



eg2.设X1, … , Xn为取自总体U[a,b]的样本,求a,b的矩估计。
解:
第四页,共32页。



eg3.设总体X的概率密度为

X1, … , Xn为样本,求参数的矩估计。
解:
第五页,共32页。



eg4.已知每包打印纸的重量X~N(,2),其中,未知,现对其中9包打印纸称重:


试估计,2。
解:设Xi=第i包打印纸重,Xi~N(,2)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
kg
1.8
2.1
1.9
1.8
2.0
1.9
2.0
2.1
1.8
第六页,共32页。



二.极大似然估计法
eg1.有两个射手,甲的命中率为0.9,乙的命中率为0.1,现在他们各向目标射击了一发,结果一个人命中了,估计是谁命中了的?
一般说,事件A发生的概率与参数有关,取值不同,则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|)。若A发生了,则认为此时的值应是在中使P(A|) 达到最大的那一个。这就是极大似然思想。
1.极大似然估计:根据样本值选取参数,使样本值发生的概率最大。
eg1’.有两个射手,甲的命中率为p1,乙的命中率为p2,现在他们各向目标射击了一发,结果甲命中了,估计是谁的命中率高?
第七页,共32页。







eg2.一个盒子中有黑球和白球,比例是3:1,但不知道那种球多,设
                  

记p=P(X=1),现有放回地从中取了三个球得到样本值为(x1,x2,x3),根据这个值应该如何确定p?
解: P{X=k}=pk(1-p)1-k (k=0,1) p=1/4或3/4
作 L(x1,x2,x3:p)=P(X=x1,X=x2,X=x3)
x1+x2+x3
0
1
2
3
P=1/4




P=3/4





第八页,共32页。



2. 离散型随机变量:设总体X的分布律为
设(X1,X2,…,Xn)是X的样本,有样本观察值x1,x2,…xn,则


L()称为似然函数。极大似然估计是在中选取适当的 使L()达到最大值。即
第九页,共32页。



eg3.设X1, … , Xn为取自参数为p的两点分布总体的样本,求p的极大似然估计。
解: P{X=k}=pk(1-p)1-k (k=0,1)
似然函数为:

第十页,共32页。

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