相似矩阵和相似矩阵的性质.ppt

文档介绍：相似矩阵和相似矩阵的性质
性质 若 与 相似，则
（1） 与 有相同的特征多项式、特征值和迹；
（2）
（3）
（4） 与 也相似，其中 为正整数.
2、相似矩阵的性质
且方阵多项式
即
（5）
（6） 若A可逆，则
例 设 A～ B ，其中
求a, b 的值。
矩阵可对角化的定义和条件
定义 假设n阶矩阵A 与 n阶对角矩阵 相似, 那么称
A 可以对角化。
定理 阶方阵 可对角化的充要条件是
有 个线性无关的特征向量.
定理 如果 阶方阵 有 个不同的特征值，
则 可对角化.
n1 + n2 + ··· + ns = n.
矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，那么把 A对角化的
步骤如下：
〔1〕求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有 s 个不同的特
征值 1 , 2 , ··· , s ，它们的重
数分别为 n1, n2 , ··· , ns , 有
(2) 对 A 的每个特征值 i , 求(i E -A) x = 0
的根底解系, 设为
那么 P-1AP =  .
试证A可以对角化，
例
并求P与对角矩阵Λ,使
解
得根底解系
相应的方程组为
相应的方程组为
得根底解系
Λ=diag(1, 1, -2)。
那么
注:〔1〕相似的对角矩阵不唯一，比方Λ=diag(1, -2 ,1)。
〔2〕相似变换矩阵P不唯一，比方
〔3〕假设
有