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线性代数知识点总结
1 行列式
〔一〕行列式概念和性质
1、逆序数：所有的逆序的总数
2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：〔用于化简行列式〕
〔1〕行列互换〔转置〕，行列式的值不变
〔2〕两行〔列〕互换，行列式变号
〔3〕提公因式：行列式的某一行〔列〕的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
〔4〕拆列分配：行列式中如果某一行〔列〕的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
〔5〕一行〔列〕乘k加到另一行〔列〕，行列式的值不变。
〔6〕两行成比例，行列式的值为0。
〔二〕重要行列式
4、上〔下〕三角〔主对角线〕行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式：〔A是m阶矩阵，B是n阶矩阵〕，如此
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7、n阶〔n≥2〕德蒙德行列式
数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：
〔三〕按行〔列〕展开
9、按行展开定理：
〔1〕任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
〔2〕行列式中某一行〔列〕各个元素与另一行〔列〕对应元素的代数余子式乘积之和等于0
〔四〕行列式公式
10、行列式七大公式：
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〔1〕|kA|=kn|A|
〔2〕|AB|=|A|·|B|
〔3〕|AT|=|A|
〔4〕|A-1|=|A|-1
〔5〕|A*|=|A|n-1
〔6〕假如A的特征值λ1、λ2、……λn，如此
〔7〕假如A与B相似，如此|A|=|B|
〔五〕克莱姆法如此
11、克莱姆法如此：
〔1〕非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
〔2〕如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，如此它的系数行列式必为0
〔3〕假如齐次线性方程组的系数行列式不为0，如此齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵
〔一〕矩阵的运算
1、矩阵乘法须知事项：
〔1〕矩阵乘法要求前列后行一致；
〔2〕矩阵乘法不满足交换律；〔因式分解的公式对矩阵不适用，但假如B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律〕
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〔3〕AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质〔5条〕
〔1〕〔A+B〕T=AT+BT
〔2〕〔kA〕T=kAT
〔3〕〔AB〕T=BTAT
〔4〕|A|T=|A|
〔5〕〔AT〕T=A
〔二〕矩阵的逆
3、逆的定义：
AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1
注：A可逆的充要条件是|A|≠0
4、逆的性质：〔5条〕
〔1〕〔kA〕-1=1/k·A-1 (k≠0)
〔2〕〔AB〕-1=B-1·A-1
〔3〕|A-1|=|A|-1
〔4〕〔AT〕-1=〔A-1〕T
〔5〕〔A-1〕-1=A
5、逆的求法：
〔1〕A为抽象矩阵：由定义或性质求解
〔2〕A为数字矩阵：〔A|E〕初等行变换〔E|A-1〕
〔三〕矩阵的初等变换
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6、初等行〔列〕变换定义：
〔1〕两行〔列〕互换；
〔2〕一行〔列〕乘非零常数c
〔3〕一行〔列〕乘k加到另一行〔列〕
7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质：
〔1〕初等行〔列〕变换相当于左〔右〕乘相应的初等矩阵
〔2〕初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij〔i，j两行互换〕；
Ei-1〔c〕=Ei〔1/c〕〔第i行〔列〕乘c〕
Eij-1〔k〕=Eij〔-k〕〔第i行乘k加到j〕
★〔四〕矩阵的秩
9、秩的定义：非零子式的最高阶数
注：〔1〕r〔A〕=0意味着所有元素为0，即A=O
〔2〕r〔An×n〕=n〔满秩〕|A|≠0A可逆；
r〔A〕＜n|A|=0A不可逆；
〔3〕r〔A〕=r〔r=1、2、…、n-1〕r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质：〔7条〕
〔1〕A为m×n阶矩阵，如此r〔A〕≤min〔m,n〕
〔2〕r〔A±B〕≤r〔A〕±〔B〕
〔3〕r〔AB〕≤min{r〔A〕，r〔B〕}
〔4〕r〔kA〕=r〔A〕〔k≠0〕
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〔5〕r〔A〕=r〔AC〕〔C是一个可逆矩阵〕
〔6〕r〔A〕=r〔AT〕=r〔ATA〕=r〔AAT〕
〔7〕设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵