文档介绍：目录上页下页返回结束四、旋转体的侧面积(补充) 三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用第六章目录上页下页返回结束yb xa )( 2xfy?)( 1xfy?O 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形设曲线)0()(??xfy与直线)(,babxax???及x轴所围曲则xxfAd)(d?xxfA bad)(??边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 xxfxfA bad)()( 21??? O xb a y )(xfy?xxd? xxxxd? 22,xyxy??在第一象限所围图形的面积. 解:由xy? 22xy?得交点)1,1(,)0,0(xxxAd)(d 2??? 2 33 2x?? 0 133 1x?3 1???? 10Ax yO xy? 22xy?xxxd?)1,1(1 目录上页下页返回结束O xy2 2?4??xy x y xy2 2?与直线的面积. 解:由xy2 2?4??xy 得交点)4,8(,)2,2(?)4,8(yyyAd)4(d 22 1???18 ? 4??xy 所围图形)2,2(?? 22 1y? y4?? 42 36 1??y 为简便计算, 选取 y作积分变量,则有???? 42A y yyd?目录上页下页返回结束a b 例3. 求椭圆 1 2 22 2??b ya x 解:利用对称性, xyAdd?所围图形的面积. 有?? axyA 0d4 利用椭圆的参数方程π)20( sin cos ????ttby tax 应用定积分换元法得?? 0 2 π4A tb sin ttad) sin (???? 2 π0 2d sin 4ttbaba4? 2 1? 2 π? baπ?当a = b时得圆面积公式 xxxd?x yO 目录上页下页返回结束yx abO abO yx 一般地, 当曲边梯形的曲边由参数方程?????)( )(ty tx??给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值 21,tt 则曲边梯形面积???? 21d)()( tttttA??)( 1axt?对应)( 1bxt?对应目录上页下页返回结束x yaπ2O 例4. 求由摆线) cos 1(,) sin (tayttax????)0(?a 的一拱与 x轴所围平面图形的面积.) cos 1(tadA??解:ttad) cos 1(??t tad2 sin 4 π20 42??)2 ( tu?令 uuad sin 8 π0 42??uuad sin 16 2 π0 42?? 216a???4 3?2 12 π 2π3a???π20Attad) cos 1( π20 22???目录上页下页返回结束 2. 极坐标情形,0)(,],[)(????????C设求由曲线)(???r 及??????,射线围成的曲边扇形的面积.)(???r???d 在区间],[??上任取小区间]d,[????则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为?????d)(2 1d 2?A 所求曲边扇形的面积为?????d)(2 1 2??A ?x O 目录上页下页返回结束对应?从0 变例5. 计算阿基米德螺线解:)0(??aar???d ??d)(2 1 2a??π20A2 2a??????? 33 1?0 π2 23π3 4a?到2?所围图形面积. aπ2xO 目录上页下页返回结束心形线xa2Ottad cos 8 2 π0 42??例6. 计算心形线所围图形的面积. 解:)0() cos 1(???aar???d ??d) cos 1(2 1 22?a??π02A??π0 2a??d2 cos 4 4 (利用对称性)2 ??t令?? 28a ?4 3?2 12 π 2π2 3a?心形线