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第四章 内积空间
在第三章中，我们把维空间中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋X线性空间的概念。但在中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋X线性空间是做不到的。我们知道，中向量的夹角是通过向量的内积描述的，因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。
内积空间的基本概念
首先回忆几何空间中向量内积的概念。设，，设与夹角为，由解析几何知识可得
其中， ，
令，称为与的内积，不难证明它有如下性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
注：由定义可得，我们看到，两个向量的夹角仅与向量的内积有关。利用内积我们可以讨论如向量的直交与投影等重要几何问题。
现在我们引入一般的内积空间的概念。
[定义 ] 设为数域上线性空间，若对任两个元素（向量），，有惟一中数与之对应，记为，并且满足如下性质：
（1）
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（2）
（3）
（4）
则称为与的内积，有了内积的线性空间叫做内积空间，当为实数域（或复数域），叫为实（或复）内积空间。
注:由性质（3）与性质（4）知，内积运算关于第一变元是线性的。
由性质（2）与性质（4），内积关于第二个变元也是线性的。而常称为共轭齐次性，因此在为赋内积空间时，内积是共轭线性的。
今后讨论中不加注明时，恒设为复内积空间。
[引理 ]（Schwaraz不等式） 设为内积空间，对任意，，成立不等式
证明：若，则任，有，则显然不等式成立。现在设，则，有
取代入上式可得，由此可得
证毕。
[定理 ] 设为内积空间，对任，令，则是的X数。
证明：因X数的前两条性质可直接由内积的性质推出，我们仅验证它满足第三条性质（即三角不等式）。事实上
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。
注：常称为内积导出的X数，于是内积空间按此X数成为一个赋X线性空间。在此意义下，第二章关于赋X线性空间的有关内容都适用于内积空间。特别当内积空间按由内积导出的X数完备的，称为Hilbert空间。
以下介绍几个常用的Hilbert空间的例子。
例 表示（实或复）Euclid空间，对于，，类似于几何空间中向量的内积定义，令
不难验证成为一个空间。
例 ，当，
时，令
容易证明成为内积空间。以下证明为Hilbert空间。任取列
，则对任当时，有
因而有
故数列是列，因数域完备，则存在，使
，令，则任，当时，有
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则令，对每个与任，有
因而，亦有，只要，所以，注意是线性空间，则
，且，，这即表明在中收敛，故为Hilbert空间。
例 为有限或无穷区间，对任，定义内积
这里中的元素是实值或复值二次可积函数，也不难验证是内积空间。现在证明是Hilbert空间。
设为列，则对每个，存在自然数，有
对任有限区间，由不等式，有
式中，为的长度。
故级数收敛，于是由引理（见第一章）我们有
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从而知是集上可积函数，则比在上为处处有限函数，即级数在上几乎处处收敛，而为中任意有限区间，则级数在上几乎处处收敛，因而级数在上几乎处处收敛，亦即函数在上几乎处处收敛于函数.
现在证明，且.
对任意，因为中列，则存在，当时，有，即
令，利用第一章积分的性质，得到
即，且，，故是Hilbert空间。
内积的连续性。设，则有
证明：由不等式，得
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因收敛有界。证毕。
极化恒等式。对内积空间中元素与，成立
证明可直接运用X数的定义和内积的性质得到。留给读者作为练****br/>注：当为实数内积空间时，则极化恒等式为
中线公式。对内积空间中元素与，成立
证明：
证毕。
注：也常称中线公式为平行四边形公式。因在平面中，平行四边形的对角线长度的平方和等于四条边的长度平方和。另外，可以证明中线公式是内积空间中由内积导出的X数的特征性质，即当为赋X线性空间时，若对其中任何元素与关于X数成立中线公式，则必在中可定义内积，使X数可由此内积导出。也就是一个赋X线性空间成为内积空间的条件是其X数要满足中线公式。因此，内积空间是一类特殊的赋X线性空间。
例如，当且时，不是内积空间。因为，取，，则，且，显然不满足中线公式。
又例如，按X数不是内积空间。这只要取，与，，则，且，明显不满足中线公式。
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再例如，当且时，也不是一个内积空间。<br****题
证明：Schwarz不等式