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空间向量与立体几何知识点归纳总结
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1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相 等的向量。
(2)向量具有平移不变性
2. 空间向量的运算。
uuu mu uuu r v
OB OA AB a b ；
ULU BA
luu uui r r OA OB a b
iuu r
OP a( R)
运算律：⑴加法交换律：a b
b
a
⑵加法结合律：(a b) c a
(b
c)
⑶数乘分配律：(a b) a
b
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下 (如图)。
运算法则：三角形法则、平行四边形法则、 平行六面体法则
3. 共线向量。
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直 线平行或重合，那么这些
向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a// b。
(2 )共线向量定理：空间任意两个向量a、b ( b工0 ),
a
a b a b AB AC OC xOA yOE(其中x y 1) a =共面向量
a
(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。。 r
(2) 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条
r r r
件是存在实数x, y使r xa yb。
(3)四点共面：若A B、C P四点共面<=>AP xAB yAC
<=> OP xOA yOB zOC(其中 x r r r
5. 向
±7
空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，
r r r
量p，存在一个唯一的有序实数组 x, y,z，使p xa
若三向量a,b,c不共面，我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的
uuu uuu uuu UULT
三个有序实数X, y,Z，使OP xOA yOB zOC。
6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点a，存在唯一的有序实数
组（x, y,z），使OA xi yi zk ,有序实数组（x,y,z）叫作向量A在空间直 角坐标系O xyz中的坐标，记作A（x, y,z）， x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖 坐标。
注：①点A（x,y,z ）关于x轴的的对称点为（x,-y,-z）, 关于xoy平面 的对称点为（x,y,-z）.即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的 分坐标均相反。②在 y轴上的点设为（0,y,0）,在平面yOz中的点设为 （0,y,z）
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫
r r r r * f f
单位正交基底，用｛i, j,k｝表示。空间中任一向量 a xi yj zk =
(x,y,z)
(3)空间向量的直角坐标运算律：
r r r r
***@1,a2,a3),b Qbb)，则 a b ⑻
r
(a1 1^1, a2 b2, a3 b3)， a ( a1,
ar
1^1 , a2 b2 , a3
a2, a3)(
bs)，
R)，
a//b r r a b
aib1 a2b2 a3b3，
a2 b2 , a3
qQ a2b2 a3b3 0
ai
b3(
R)，
② 若 人化，％,/） ， B（X2』2,Z2）
uuu
AB （X2 捲』2 y「Z2 zj。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标。
③定比分点公式：若人化”乙），B（X2』2,Z2），ap pb，则点P
“ x1 x2 y1 y2 z1 z2、
坐标为（— 一，— 一，—一）。推导：设P （ x,y,z ）则
1 1 1
（x X1,y y1,z z） 区人y yz z）,显然，当P为AB中点时，
Xi X2 yi y2 Zi Z2
P( ， ， )
2 2 2
④ ABC中，A 佃，％,^) ,B(X2,y2,Z2),C(X3,ys,Z3)，三角形重心 P坐
标为P（ 3 2
⑤厶ABC的五心：
内心
P：内切圆的圆心，角平分线的交点。AP
z AB AC、