完整word版高中数学基本不等式知识点归纳及练习题.doc

文档介绍：高中数学基本不等式的巧用
a＋b
1．基本不等式： ab≤ 2
(1)基本不等式建立的条件： a＞ 0， b＞ 0.
(2)等号建立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2． 几个重要的不等式
22
≥2ab(a，b∈R)；(2)
b
a
a＋ b 2
， ∈
；
(1)a
＋ b
＋ ≥ 2(a，b 同号 )；(3)ab≤
R)
a
b
2
(a b
(4)
a2＋ b2
≥
a＋b 2
(a， b∈R)．
2
2
3． 算术平均数与几何平均数
a＋ b
设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可表达为两个
正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．
4． 利用基本不等式求最值问题
已知 x＞0，y＞0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时， x＋ y 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小 )
p2
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝ y 时， xy 有最大值是 4 .(简记：和定积最大 )
一个技巧
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，比如 a2＋b2≥2ab 逆用就是
ab≤a2＋ b2
；a＋b≥ ab(a， b＞ 0)逆用就是 ab≤ a＋ b 2(a， b＞ 0)等．还要注意 “ 添、拆项 ”
2
2
2
技巧和公式等号建立的条件等．
两个变形
(1)
a2＋ b2
≥ a＋b 2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号 )；
2
2
2
＋b
2
2
＞ ， ＞ ，当且仅当
＝
时取等号
．
a
≥ a＋ b≥ ab≥
(2)
2
2
1 1(a
0 b 0
a b
)
a＋b
这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．
三个注意
1
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真实原因是其存在前提 “一正、二定、三相等 ” 的忽
视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意 “ 拆”“ 拼 ”“ 凑 ”等技巧，使其知足基本不等式中
“正”“ 定”“ 等”的条件．
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时知足任何一次的字母取值存在且一致．
应用一：求最值
例 1：求下列函数的值域
2
1
1
（ 1） y＝
3x
＋ 2x 2
（ 2） y＝ x＋ x
解题技巧：