桥梁结构有限元.doc

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第三章 桥梁构造分析有限元方法
平面杆系有限元
有限元分析构造的工作为两大局部：
元素分析〔单元刚度矩阵〕：探讨单个元素的力学特性。
构造分析〔总刚度矩阵〕：用众多元素集合成整个构造。
单元刚度矩阵〔局部坐标〕
如下图为一个等截面的直杆e。设杆长为l，截面面积为A，截面惯性矩为I，弹性模量为E。
图1
如下图一个杆件在平面内的变形，可用杆件两端的结点位移来描述。那么一个杆件单元有六个结点位移和六个杆端力分量。用矩阵公式表示为：
(1)
在分析计算中，还必须对这些分量的方向做规定：如图2所示的位移、力分量方向为正方向。
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图2
下面寻找结点位移和杆端力的关系—刚度矩阵：
(2)
(3)
1 用构造力学直接法推导
运用叠加原理，将六个结点位移各自发生单位位移时所产生的杆端力分量与对应位移分量相乘后叠加。
2 用弹性力学虚功原理推导
选择位移函数
利用边界条件，可获得用位移向量表示的矩阵形式为：
(4)
所以[N]称之为形函数。
位移与应变的关系〔几何条件〕
对形函数求导，可获得： (5)
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位移与应力的关系〔物理条件〕
将上式改写为矩阵形式，即：
(6)
虚功原理求单元刚度矩阵
虚应变能： (7)